Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 14158 / 18279
↖ ↑ ↗
← N 78.148603°
W141.113892°		 ← 62.73 m → N 78.148603°
W141.111145°		 →
↑
62.69 m
↓
↑
62.69 m
↓
N 78.148039°
W141.113892°		 ← 62.73 m →
3 932 m²		 N 78.148039°
W141.111145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108020782470703 y=0.139461517333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108020782470703 × 217)
    floor (0.108020782470703 × 131072)
    floor (14158.5)     		tx = 14158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139461517333984 × 217)
    floor (0.139461517333984 × 131072)
    floor (18279.5)     		ty = 18279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14158 / 18279 ti = "17/14158/18279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14158/18279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14158 ÷ 217
    14158 ÷ 131072     		x = 0.108016967773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18279 ÷ 217
    18279 ÷ 131072     		y = 0.139457702636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108016967773438 × 2 - 1) × π
    -0.783966064453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.46290203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139457702636719 × 2 - 1) × π
    0.721084594726562 × 3.1415926535     		Φ = 2.26535406534499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46290203} λ = -2.46290203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26535406534499))-π/2
    2×atan(9.63453525232592)-π/2
    2×1.46737338073801-π/2
    2.93474676147602-1.57079632675     		φ = 1.36395043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46290203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.113892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36395043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.148603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14158 KachelY 18279 -2.46290203 1.36395043 -141.113892 78.148603
    Oben rechts KachelX + 1 14159 KachelY 18279 -2.46285409 1.36395043 -141.111145 78.148603
    Unten links KachelX 14158 KachelY + 1 18280 -2.46290203 1.36394059 -141.113892 78.148039
    Unten rechts KachelX + 1 14159 KachelY + 1 18280 -2.46285409 1.36394059 -141.111145 78.148039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36395043-1.36394059) × R
    9.84000000014973e-06 × 6371000     		dl = 62.6906400009539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36395043-1.36394059) × R
    9.84000000014973e-06 × 6371000     		dr = 62.6906400009539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46290203--2.46285409) × cos(1.36395043) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205374057601142 × 6371000     		do = 62.7265235195904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46290203--2.46285409) × cos(1.36394059) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205383687837359 × 6371000     		du = 62.7294648416132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36395043)-sin(1.36394059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205374057601142-0.205383687837359)×R²
    abs(-2.46285409--2.46290203)×9.63023621652903e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.63023621652903e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.63023621652903e-06×40589641000000     		ar = 3932.45810125453m²