Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14156 / 18284
↖ ↑ ↗
← N 78.145782°
W141.119385°		 ← 62.73 m → N 78.145782°
W141.116638°		 →
↑
62.69 m
↓
↑
62.69 m
↓
N 78.145219°
W141.119385°		 ← 62.73 m →
3 933 m²		 N 78.145219°
W141.116638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108005523681641 y=0.139499664306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108005523681641 × 217)
    floor (0.108005523681641 × 131072)
    floor (14156.5)     		tx = 14156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139499664306641 × 217)
    floor (0.139499664306641 × 131072)
    floor (18284.5)     		ty = 18284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14156 / 18284 ti = "17/14156/18284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14156/18284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14156 ÷ 217
    14156 ÷ 131072     		x = 0.108001708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18284 ÷ 217
    18284 ÷ 131072     		y = 0.139495849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108001708984375 × 2 - 1) × π
    -0.78399658203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.46299790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139495849609375 × 2 - 1) × π
    0.72100830078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.26511438084689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46299790} λ = -2.46299790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26511438084689))-π/2
    2×atan(9.63222628030299)-π/2
    2×1.46734876536264-π/2
    2.93469753072528-1.57079632675     		φ = 1.36390120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46299790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.119385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36390120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.145782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14156 KachelY 18284 -2.46299790 1.36390120 -141.119385 78.145782
    Oben rechts KachelX + 1 14157 KachelY 18284 -2.46294997 1.36390120 -141.116638 78.145782
    Unten links KachelX 14156 KachelY + 1 18285 -2.46299790 1.36389136 -141.119385 78.145219
    Unten rechts KachelX + 1 14157 KachelY + 1 18285 -2.46294997 1.36389136 -141.116638 78.145219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36390120-1.36389136) × R
    9.83999999992768e-06 × 6371000     		dl = 62.6906399995393m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36390120-1.36389136) × R
    9.83999999992768e-06 × 6371000     		dr = 62.6906399995393m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46299790--2.46294997) × cos(1.36390120) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.205422237943554 × 6371000     		do = 62.7281515856251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46299790--2.46294997) × cos(1.36389136) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.205431868080269 × 6371000     		du = 62.7310922637214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36390120)-sin(1.36389136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205422237943554-0.205431868080269)×R²
    abs(-2.46294997--2.46299790)×9.63013671434476e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.63013671434476e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.63013671434476e-06×40589641000000     		ar = 3932.56014539021m²