Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14155 / 11031
↖ ↑ ↗
← N 50.576260°
W 24.488526°		 ← 775.80 m → N 50.576260°
W 24.477539°		 →
↑
775.80 m
↓
↑
775.80 m
↓
N 50.569283°
W 24.488526°		 ← 775.92 m →
601 910 m²		 N 50.569283°
W 24.477539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431991577148438 y=0.336654663085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431991577148438 × 215)
    floor (0.431991577148438 × 32768)
    floor (14155.5)     		tx = 14155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336654663085938 × 215)
    floor (0.336654663085938 × 32768)
    floor (11031.5)     		ty = 11031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14155 / 11031 ti = "15/14155/11031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14155/11031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14155 ÷ 215
    14155 ÷ 32768     		x = 0.431976318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11031 ÷ 215
    11031 ÷ 32768     		y = 0.336639404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431976318359375 × 2 - 1) × π
    -0.13604736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42740540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336639404296875 × 2 - 1) × π
    0.32672119140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02642489466464
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42740540} λ = -0.42740540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02642489466464))-π/2
    2×atan(2.79106960871631)-π/2
    2×1.22675929580236-π/2
    2.45351859160471-1.57079632675     		φ = 0.88272226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42740540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.488526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88272226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.576260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14155 KachelY 11031 -0.42740540 0.88272226 -24.488526 50.576260
    Oben rechts KachelX + 1 14156 KachelY 11031 -0.42721365 0.88272226 -24.477539 50.576260
    Unten links KachelX 14155 KachelY + 1 11032 -0.42740540 0.88260049 -24.488526 50.569283
    Unten rechts KachelX + 1 14156 KachelY + 1 11032 -0.42721365 0.88260049 -24.477539 50.569283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88272226-0.88260049) × R
    0.000121770000000021 × 6371000     		dl = 775.796670000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88272226-0.88260049) × R
    0.000121770000000021 × 6371000     		dr = 775.796670000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42740540--0.42721365) × cos(0.88272226) × R
    0.000191749999999991 × 0.635050634303192 × 6371000     		do = 775.802780602138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42740540--0.42721365) × cos(0.88260049) × R
    0.000191749999999991 × 0.635144693328959 × 6371000     		du = 775.917686799831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88272226)-sin(0.88260049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635050634303192-0.635144693328959)×R²
    abs(-0.42721365--0.42740540)×9.40590257666463e-05×R²
    0.000191749999999991×9.40590257666463e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.40590257666463e-05×40589641000000     		ar = 601909.786433867m²