Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14154 / 11035
↖ ↑ ↗
← N 50.548344°
W 24.499511°		 ← 776.22 m → N 50.548344°
W 24.488526°		 →
↑
776.31 m
↓
↑
776.31 m
↓
N 50.541363°
W 24.499511°		 ← 776.34 m →
602 631 m²		 N 50.541363°
W 24.488526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431961059570312 y=0.336776733398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431961059570312 × 215)
    floor (0.431961059570312 × 32768)
    floor (14154.5)     		tx = 14154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336776733398438 × 215)
    floor (0.336776733398438 × 32768)
    floor (11035.5)     		ty = 11035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14154 / 11035 ti = "15/14154/11035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14154/11035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14154 ÷ 215
    14154 ÷ 32768     		x = 0.43194580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11035 ÷ 215
    11035 ÷ 32768     		y = 0.336761474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43194580078125 × 2 - 1) × π
    -0.1361083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42759714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336761474609375 × 2 - 1) × π
    0.32647705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02565790427072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42759714} λ = -0.42759714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02565790427072))-π/2
    2×atan(2.78892970588502)-π/2
    2×1.22651568478544-π/2
    2.45303136957088-1.57079632675     		φ = 0.88223504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42759714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.499511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88223504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.548344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14154 KachelY 11035 -0.42759714 0.88223504 -24.499511 50.548344
    Oben rechts KachelX + 1 14155 KachelY 11035 -0.42740540 0.88223504 -24.488526 50.548344
    Unten links KachelX 14154 KachelY + 1 11036 -0.42759714 0.88211319 -24.499511 50.541363
    Unten rechts KachelX + 1 14155 KachelY + 1 11036 -0.42740540 0.88211319 -24.488526 50.541363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88223504-0.88211319) × R
    0.000121849999999979 × 6371000     		dl = 776.306349999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88223504-0.88211319) × R
    0.000121849999999979 × 6371000     		dr = 776.306349999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42759714--0.42740540) × cos(0.88223504) × R
    0.000191739999999996 × 0.635426921995931 × 6371000     		do = 776.221985367701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42759714--0.42740540) × cos(0.88211319) × R
    0.000191739999999996 × 0.635521005097655 × 6371000     		du = 776.336914983493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88223504)-sin(0.88211319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635426921995931-0.635521005097655)×R²
    abs(-0.42740540--0.42759714)×9.4083101723208e-05×R²
    0.000191739999999996×9.4083101723208e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.4083101723208e-05×40589641000000     		ar = 602630.667291482m²