Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14153 / 3518
↖ ↑ ↗
← N 80.301630°
W 24.510498°		 ← 205.80 m → N 80.301630°
W 24.499511°		 →
↑
205.85 m
↓
↑
205.85 m
↓
N 80.299778°
W 24.510498°		 ← 205.84 m →
42 367 m²		 N 80.299778°
W 24.499511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431930541992188 y=0.107376098632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431930541992188 × 215)
    floor (0.431930541992188 × 32768)
    floor (14153.5)     		tx = 14153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107376098632812 × 215)
    floor (0.107376098632812 × 32768)
    floor (3518.5)     		ty = 3518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14153 / 3518 ti = "15/14153/3518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14153/3518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14153 ÷ 215
    14153 ÷ 32768     		x = 0.431915283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3518 ÷ 215
    3518 ÷ 32768     		y = 0.10736083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431915283203125 × 2 - 1) × π
    -0.13616943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42778889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10736083984375 × 2 - 1) × π
    0.7852783203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.46702460204657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42778889} λ = -0.42778889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46702460204657))-π/2
    2×atan(11.7873226476347)-π/2
    2×1.48616207720325-π/2
    2.9723241544065-1.57079632675     		φ = 1.40152783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42778889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.510498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40152783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.301630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14153 KachelY 3518 -0.42778889 1.40152783 -24.510498 80.301630
    Oben rechts KachelX + 1 14154 KachelY 3518 -0.42759714 1.40152783 -24.499511 80.301630
    Unten links KachelX 14153 KachelY + 1 3519 -0.42778889 1.40149552 -24.510498 80.299778
    Unten rechts KachelX + 1 14154 KachelY + 1 3519 -0.42759714 1.40149552 -24.499511 80.299778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40152783-1.40149552) × R
    3.23099999999243e-05 × 6371000     		dl = 205.847009999518m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40152783-1.40149552) × R
    3.23099999999243e-05 × 6371000     		dr = 205.847009999518m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42778889--0.42759714) × cos(1.40152783) × R
    0.000191749999999991 × 0.168461345450921 × 6371000     		do = 205.798991710644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42778889--0.42759714) × cos(1.40149552) × R
    0.000191749999999991 × 0.168493193596885 × 6371000     		du = 205.837898655794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40152783)-sin(1.40149552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168461345450921-0.168493193596885)×R²
    abs(-0.42759714--0.42778889)×3.18481459641584e-05×R²
    0.000191749999999991×3.18481459641584e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.18481459641584e-05×40589641000000     		ar = 42367.1115470964m²