Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14153 / 18253
↖ ↑ ↗
← N 78.163261°
W141.127624°		 ← 62.64 m → N 78.163261°
W141.124878°		 →
↑
62.63 m
↓
↑
62.63 m
↓
N 78.162697°
W141.127624°		 ← 62.64 m →
3 923 m²		 N 78.162697°
W141.124878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107982635498047 y=0.139263153076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107982635498047 × 217)
    floor (0.107982635498047 × 131072)
    floor (14153.5)     		tx = 14153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139263153076172 × 217)
    floor (0.139263153076172 × 131072)
    floor (18253.5)     		ty = 18253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14153 / 18253 ti = "17/14153/18253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14153/18253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14153 ÷ 217
    14153 ÷ 131072     		x = 0.107978820800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18253 ÷ 217
    18253 ÷ 131072     		y = 0.139259338378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.107978820800781 × 2 - 1) × π
    -0.784042358398438 × 3.1415926535     		Λ = -2.46314171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139259338378906 × 2 - 1) × π
    0.721481323242188 × 3.1415926535     		Φ = 2.26660042473512
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46314171} λ = -2.46314171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26660042473512))-π/2
    2×atan(9.64655083211704)-π/2
    2×1.46750128765061-π/2
    2.93500257530122-1.57079632675     		φ = 1.36420625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46314171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.127624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36420625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.163261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14153 KachelY 18253 -2.46314171 1.36420625 -141.127624 78.163261
    Oben rechts KachelX + 1 14154 KachelY 18253 -2.46309378 1.36420625 -141.124878 78.163261
    Unten links KachelX 14153 KachelY + 1 18254 -2.46314171 1.36419642 -141.127624 78.162697
    Unten rechts KachelX + 1 14154 KachelY + 1 18254 -2.46309378 1.36419642 -141.124878 78.162697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36420625-1.36419642) × R
    9.82999999998846e-06 × 6371000     		dl = 62.6269299999265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36420625-1.36419642) × R
    9.82999999998846e-06 × 6371000     		dr = 62.6269299999265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46314171--2.46309378) × cos(1.36420625) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.205123684057166 × 6371000     		do = 62.6369845648133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46314171--2.46309378) × cos(1.36419642) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.205133305022721 × 6371000     		du = 62.6399224423856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36420625)-sin(1.36419642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205123684057166-0.205133305022721)×R²
    abs(-2.46309378--2.46314171)×9.62096555465197e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.62096555465197e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.62096555465197e-06×40589641000000     		ar = 3922.85404298005m²