Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14152 / 3998
↖ ↑ ↗
← N 79.371754°
W 24.521484°		 ← 225.31 m → N 79.371754°
W 24.510498°		 →
↑
225.34 m
↓
↑
225.34 m
↓
N 79.369727°
W 24.521484°		 ← 225.36 m →
50 778 m²		 N 79.369727°
W 24.510498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431900024414062 y=0.122024536132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431900024414062 × 215)
    floor (0.431900024414062 × 32768)
    floor (14152.5)     		tx = 14152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122024536132812 × 215)
    floor (0.122024536132812 × 32768)
    floor (3998.5)     		ty = 3998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14152 / 3998 ti = "15/14152/3998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14152/3998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14152 ÷ 215
    14152 ÷ 32768     		x = 0.431884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3998 ÷ 215
    3998 ÷ 32768     		y = 0.12200927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431884765625 × 2 - 1) × π
    -0.13623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42798064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12200927734375 × 2 - 1) × π
    0.7559814453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.37498575477606
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42798064} λ = -0.42798064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37498575477606))-π/2
    2×atan(10.7508600365768)-π/2
    2×1.47804738435145-π/2
    2.95609476870291-1.57079632675     		φ = 1.38529844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42798064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.521484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38529844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.371754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14152 KachelY 3998 -0.42798064 1.38529844 -24.521484 79.371754
    Oben rechts KachelX + 1 14153 KachelY 3998 -0.42778889 1.38529844 -24.510498 79.371754
    Unten links KachelX 14152 KachelY + 1 3999 -0.42798064 1.38526307 -24.521484 79.369727
    Unten rechts KachelX + 1 14153 KachelY + 1 3999 -0.42778889 1.38526307 -24.510498 79.369727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38529844-1.38526307) × R
    3.5369999999979e-05 × 6371000     		dl = 225.342269999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38529844-1.38526307) × R
    3.5369999999979e-05 × 6371000     		dr = 225.342269999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42798064--0.42778889) × cos(1.38529844) × R
    0.000191750000000046 × 0.184435901687867 × 6371000     		do = 225.314136611094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42798064--0.42778889) × cos(1.38526307) × R
    0.000191750000000046 × 0.184470664784022 × 6371000     		du = 225.356604573809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38529844)-sin(1.38526307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184435901687867-0.184470664784022)×R²
    abs(-0.42778889--0.42798064)×3.47630961549106e-05×R²
    0.000191750000000046×3.47630961549106e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.47630961549106e-05×40589641000000     		ar = 50777.5839255484m²