Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14152 / 3515
↖ ↑ ↗
← N 80.307180°
W 24.521484°		 ← 205.68 m → N 80.307180°
W 24.510498°		 →
↑
205.72 m
↓
↑
205.72 m
↓
N 80.305330°
W 24.521484°		 ← 205.72 m →
42 317 m²		 N 80.305330°
W 24.510498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431900024414062 y=0.107284545898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431900024414062 × 215)
    floor (0.431900024414062 × 32768)
    floor (14152.5)     		tx = 14152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107284545898438 × 215)
    floor (0.107284545898438 × 32768)
    floor (3515.5)     		ty = 3515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14152 / 3515 ti = "15/14152/3515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14152/3515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14152 ÷ 215
    14152 ÷ 32768     		x = 0.431884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3515 ÷ 215
    3515 ÷ 32768     		y = 0.107269287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431884765625 × 2 - 1) × π
    -0.13623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42798064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107269287109375 × 2 - 1) × π
    0.78546142578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.46759984484201
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42798064} λ = -0.42798064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46759984484201))-π/2
    2×atan(11.794105170677)-π/2
    2×1.48621051655712-π/2
    2.97242103311423-1.57079632675     		φ = 1.40162471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42798064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.521484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40162471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.307180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14152 KachelY 3515 -0.42798064 1.40162471 -24.521484 80.307180
    Oben rechts KachelX + 1 14153 KachelY 3515 -0.42778889 1.40162471 -24.510498 80.307180
    Unten links KachelX 14152 KachelY + 1 3516 -0.42798064 1.40159242 -24.521484 80.305330
    Unten rechts KachelX + 1 14153 KachelY + 1 3516 -0.42778889 1.40159242 -24.510498 80.305330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40162471-1.40159242) × R
    3.22900000000459e-05 × 6371000     		dl = 205.719590000292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40162471-1.40159242) × R
    3.22900000000459e-05 × 6371000     		dr = 205.719590000292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42798064--0.42778889) × cos(1.40162471) × R
    0.000191750000000046 × 0.168365849244213 × 6371000     		do = 205.682329796363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42798064--0.42778889) × cos(1.40159242) × R
    0.000191750000000046 × 0.168397678203012 × 6371000     		du = 205.721213301718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40162471)-sin(1.40159242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168365849244213-0.168397678203012)×R²
    abs(-0.42778889--0.42798064)×3.18289587983855e-05×R²
    0.000191750000000046×3.18289587983855e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.18289587983855e-05×40589641000000     		ar = 42316.8841094941m²