Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14151 / 11081
↖ ↑ ↗
← N 75.746773°
W102.266235°		 ← 150.38 m → N 75.746773°
W102.260742°		 →
↑
150.42 m
↓
↑
150.42 m
↓
N 75.745420°
W102.266235°		 ← 150.39 m →
22 621 m²		 N 75.745420°
W102.260742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.215934753417969 y=0.169090270996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.215934753417969 × 216)
    floor (0.215934753417969 × 65536)
    floor (14151.5)     		tx = 14151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.169090270996094 × 216)
    floor (0.169090270996094 × 65536)
    floor (11081.5)     		ty = 11081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14151 / 11081 ti = "16/14151/11081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14151/11081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14151 ÷ 216
    14151 ÷ 65536     		x = 0.215927124023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11081 ÷ 216
    11081 ÷ 65536     		y = 0.169082641601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.215927124023438 × 2 - 1) × π
    -0.568145751953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.78488252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.169082641601562 × 2 - 1) × π
    0.661834716796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.07921508412032
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.78488252} λ = -1.78488252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07921508412032))-π/2
    2×atan(7.99818854464046)-π/2
    2×1.44641345748952-π/2
    2.89282691497904-1.57079632675     		φ = 1.32203059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.78488252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.266235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32203059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.746773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14151 KachelY 11081 -1.78488252 1.32203059 -102.266235 75.746773
    Oben rechts KachelX + 1 14152 KachelY 11081 -1.78478665 1.32203059 -102.260742 75.746773
    Unten links KachelX 14151 KachelY + 1 11082 -1.78488252 1.32200698 -102.266235 75.745420
    Unten rechts KachelX + 1 14152 KachelY + 1 11082 -1.78478665 1.32200698 -102.260742 75.745420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32203059-1.32200698) × R
    2.36099999999517e-05 × 6371000     		dl = 150.419309999692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32203059-1.32200698) × R
    2.36099999999517e-05 × 6371000     		dr = 150.419309999692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.78488252--1.78478665) × cos(1.32203059) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.246207878158804 × 6371000     		do = 150.380760857044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.78488252--1.78478665) × cos(1.32200698) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.246230761304617 × 6371000     		du = 150.394737602646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32203059)-sin(1.32200698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.246207878158804-0.246230761304617)×R²
    abs(-1.78478665--1.78488252)×2.28831458132239e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.28831458132239e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.28831458132239e-05×40589641000000     		ar = 22621.2214724605m²