Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14150 / 3541
↖ ↑ ↗
← N 80.258969°
W 24.543457°		 ← 206.70 m → N 80.258969°
W 24.532471°		 →
↑
206.68 m
↓
↑
206.68 m
↓
N 80.257110°
W 24.543457°		 ← 206.73 m →
42 723 m²		 N 80.257110°
W 24.532471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431838989257812 y=0.108078002929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431838989257812 × 215)
    floor (0.431838989257812 × 32768)
    floor (14150.5)     		tx = 14150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108078002929688 × 215)
    floor (0.108078002929688 × 32768)
    floor (3541.5)     		ty = 3541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14150 / 3541 ti = "15/14150/3541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14150/3541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14150 ÷ 215
    14150 ÷ 32768     		x = 0.43182373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3541 ÷ 215
    3541 ÷ 32768     		y = 0.108062744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43182373046875 × 2 - 1) × π
    -0.1363525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42836414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108062744140625 × 2 - 1) × π
    0.78387451171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46261440728152
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42836414} λ = -0.42836414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46261440728152))-π/2
    2×atan(11.7354527213106)-π/2
    2×1.48578979496047-π/2
    2.97157958992094-1.57079632675     		φ = 1.40078326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42836414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.543457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40078326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.258969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14150 KachelY 3541 -0.42836414 1.40078326 -24.543457 80.258969
    Oben rechts KachelX + 1 14151 KachelY 3541 -0.42817239 1.40078326 -24.532471 80.258969
    Unten links KachelX 14150 KachelY + 1 3542 -0.42836414 1.40075082 -24.543457 80.257110
    Unten rechts KachelX + 1 14151 KachelY + 1 3542 -0.42817239 1.40075082 -24.532471 80.257110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40078326-1.40075082) × R
    3.24400000000225e-05 × 6371000     		dl = 206.675240000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40078326-1.40075082) × R
    3.24400000000225e-05 × 6371000     		dr = 206.675240000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42836414--0.42817239) × cos(1.40078326) × R
    0.000191749999999991 × 0.169195227486555 × 6371000     		do = 206.695530810244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42836414--0.42817239) × cos(1.40075082) × R
    0.000191749999999991 × 0.169227199695644 × 6371000     		du = 206.734589315777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40078326)-sin(1.40075082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169195227486555-0.169227199695644)×R²
    abs(-0.42817239--0.42836414)×3.19722090894592e-05×R²
    0.000191749999999991×3.19722090894592e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.19722090894592e-05×40589641000000     		ar = 42722.8846545362m²