Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1415 / 2951
↖ ↑ ↗
← S 61.897578°
W 55.634766°		 ← 4 603.56 m → S 61.897578°
W 55.546875°		 →
↑
4 600.44 m
↓
↑
4 600.44 m
↓
S 61.938950°
W 55.634766°		 ← 4 597.33 m →
21 164 047 m²		 S 61.938950°
W 55.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3455810546875 y=0.7205810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3455810546875 × 212)
    floor (0.3455810546875 × 4096)
    floor (1415.5)     		tx = 1415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7205810546875 × 212)
    floor (0.7205810546875 × 4096)
    floor (2951.5)     		ty = 2951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1415 / 2951 ti = "12/1415/2951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1415/2951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1415 ÷ 212
    1415 ÷ 4096     		x = 0.345458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2951 ÷ 212
    2951 ÷ 4096     		y = 0.720458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345458984375 × 2 - 1) × π
    -0.30908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.97100984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720458984375 × 2 - 1) × π
    -0.44091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.38518465142114
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97100984} λ = -0.97100984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38518465142114))-π/2
    2×atan(0.250277581413595)-π/2
    2×0.245239899153889-π/2
    0.490479798307778-1.57079632675     		φ = -1.08031653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97100984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.634766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08031653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.897578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1415 KachelY 2951 -0.97100984 -1.08031653 -55.634766 -61.897578
    Oben rechts KachelX + 1 1416 KachelY 2951 -0.96947586 -1.08031653 -55.546875 -61.897578
    Unten links KachelX 1415 KachelY + 1 2952 -0.97100984 -1.08103862 -55.634766 -61.938950
    Unten rechts KachelX + 1 1416 KachelY + 1 2952 -0.96947586 -1.08103862 -55.546875 -61.938950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08031653--1.08103862) × R
    0.000722090000000009 × 6371000     		dl = 4600.43539000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08031653--1.08103862) × R
    0.000722090000000009 × 6371000     		dr = 4600.43539000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97100984--0.96947586) × cos(-1.08031653) × R
    0.00153398000000005 × 0.471049174462302 × 6371000     		do = 4603.55726054029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97100984--0.96947586) × cos(-1.08103862) × R
    0.00153398000000005 × 0.470412091102688 × 6371000     		du = 4597.33105341645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08031653)-sin(-1.08103862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.471049174462302-0.470412091102688)×R²
    abs(-0.96947586--0.97100984)×0.000637083359613655×R²
    0.00153398000000005×0.000637083359613655×6371000²
    0.00153398000000005×0.000637083359613655×40589641000000     		ar = 21164047.0290854m²