Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14149 / 3522
↖ ↑ ↗
← N 80.294223°
W 24.554443°		 ← 205.94 m → N 80.294223°
W 24.543457°		 →
↑
205.97 m
↓
↑
205.97 m
↓
N 80.292371°
W 24.554443°		 ← 205.98 m →
42 423 m²		 N 80.292371°
W 24.543457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431808471679688 y=0.107498168945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431808471679688 × 215)
    floor (0.431808471679688 × 32768)
    floor (14149.5)     		tx = 14149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107498168945312 × 215)
    floor (0.107498168945312 × 32768)
    floor (3522.5)     		ty = 3522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14149 / 3522 ti = "15/14149/3522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14149/3522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14149 ÷ 215
    14149 ÷ 32768     		x = 0.431793212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3522 ÷ 215
    3522 ÷ 32768     		y = 0.10748291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431793212890625 × 2 - 1) × π
    -0.13641357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42855588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10748291015625 × 2 - 1) × π
    0.7850341796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46625761165265
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42855588} λ = -0.42855588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46625761165265))-π/2
    2×atan(11.7782853505969)-π/2
    2×1.48609744865823-π/2
    2.97219489731647-1.57079632675     		φ = 1.40139857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42855588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.554443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40139857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.294223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14149 KachelY 3522 -0.42855588 1.40139857 -24.554443 80.294223
    Oben rechts KachelX + 1 14150 KachelY 3522 -0.42836414 1.40139857 -24.543457 80.294223
    Unten links KachelX 14149 KachelY + 1 3523 -0.42855588 1.40136624 -24.554443 80.292371
    Unten rechts KachelX + 1 14150 KachelY + 1 3523 -0.42836414 1.40136624 -24.543457 80.292371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40139857-1.40136624) × R
    3.23300000000248e-05 × 6371000     		dl = 205.974430000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40139857-1.40136624) × R
    3.23300000000248e-05 × 6371000     		dr = 205.974430000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42855588--0.42836414) × cos(1.40139857) × R
    0.000191739999999996 × 0.168588756692998 × 6371000     		do = 205.943901495173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42855588--0.42836414) × cos(1.40136624) × R
    0.000191739999999996 × 0.16862062384869 × 6371000     		du = 205.982829633095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40139857)-sin(1.40136624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168588756692998-0.16862062384869)×R²
    abs(-0.42836414--0.42855588)×3.18671556918393e-05×R²
    0.000191739999999996×3.18671556918393e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.18671556918393e-05×40589641000000     		ar = 42423.186827196m²