Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14149 / 18241
↖ ↑ ↗
← N 78.170019°
W141.138611°		 ← 62.61 m → N 78.170019°
W141.135864°		 →
↑
62.63 m
↓
↑
62.63 m
↓
N 78.169456°
W141.138611°		 ← 62.62 m →
3 921 m²		 N 78.169456°
W141.135864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107952117919922 y=0.139171600341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107952117919922 × 217)
    floor (0.107952117919922 × 131072)
    floor (14149.5)     		tx = 14149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139171600341797 × 217)
    floor (0.139171600341797 × 131072)
    floor (18241.5)     		ty = 18241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14149 / 18241 ti = "17/14149/18241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14149/18241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14149 ÷ 217
    14149 ÷ 131072     		x = 0.107948303222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18241 ÷ 217
    18241 ÷ 131072     		y = 0.139167785644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.107948303222656 × 2 - 1) × π
    -0.784103393554688 × 3.1415926535     		Λ = -2.46333346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139167785644531 × 2 - 1) × π
    0.721664428710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.26717566753056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46333346} λ = -2.46333346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26717566753056))-π/2
    2×atan(9.65210153733259)-π/2
    2×1.46756026900648-π/2
    2.93512053801295-1.57079632675     		φ = 1.36432421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46333346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.138611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36432421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.170019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14149 KachelY 18241 -2.46333346 1.36432421 -141.138611 78.170019
    Oben rechts KachelX + 1 14150 KachelY 18241 -2.46328552 1.36432421 -141.135864 78.170019
    Unten links KachelX 14149 KachelY + 1 18242 -2.46333346 1.36431438 -141.138611 78.169456
    Unten rechts KachelX + 1 14150 KachelY + 1 18242 -2.46328552 1.36431438 -141.135864 78.169456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36432421-1.36431438) × R
    9.82999999998846e-06 × 6371000     		dl = 62.6269299999265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36432421-1.36431438) × R
    9.82999999998846e-06 × 6371000     		dr = 62.6269299999265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46333346--2.46328552) × cos(1.36432421) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205008230924748 × 6371000     		do = 62.614790636241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46333346--2.46328552) × cos(1.36431438) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205017852128092 × 6371000     		du = 62.617729199392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36432421)-sin(1.36431438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205008230924748-0.205017852128092)×R²
    abs(-2.46328552--2.46333346)×9.62120334380145e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.62120334380145e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.62120334380145e-06×40589641000000     		ar = 3921.46412674241m²