Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14148 / 10780
↖ ↑ ↗
← N 52.295042°
W 24.565430°		 ← 747.15 m → N 52.295042°
W 24.554443°		 →
↑
747.19 m
↓
↑
747.19 m
↓
N 52.288323°
W 24.565430°		 ← 747.26 m →
558 305 m²		 N 52.288323°
W 24.554443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431777954101562 y=0.328994750976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431777954101562 × 215)
    floor (0.431777954101562 × 32768)
    floor (14148.5)     		tx = 14148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328994750976562 × 215)
    floor (0.328994750976562 × 32768)
    floor (10780.5)     		ty = 10780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14148 / 10780 ti = "15/14148/10780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14148/10780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14148 ÷ 215
    14148 ÷ 32768     		x = 0.4317626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10780 ÷ 215
    10780 ÷ 32768     		y = 0.3289794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4317626953125 × 2 - 1) × π
    -0.136474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42874763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3289794921875 × 2 - 1) × π
    0.342041015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.07455354188318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42874763} λ = -0.42874763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07455354188318))-π/2
    2×atan(2.92868507338778)-π/2
    2×1.24175849855547-π/2
    2.48351699711095-1.57079632675     		φ = 0.91272067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42874763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.565430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91272067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.295042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14148 KachelY 10780 -0.42874763 0.91272067 -24.565430 52.295042
    Oben rechts KachelX + 1 14149 KachelY 10780 -0.42855588 0.91272067 -24.554443 52.295042
    Unten links KachelX 14148 KachelY + 1 10781 -0.42874763 0.91260339 -24.565430 52.288323
    Unten rechts KachelX + 1 14149 KachelY + 1 10781 -0.42855588 0.91260339 -24.554443 52.288323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91272067-0.91260339) × R
    0.000117279999999997 × 6371000     		dl = 747.190879999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91272067-0.91260339) × R
    0.000117279999999997 × 6371000     		dr = 747.190879999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42874763--0.42855588) × cos(0.91272067) × R
    0.000191749999999991 × 0.611595501513751 × 6371000     		do = 747.149069772596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42874763--0.42855588) × cos(0.91260339) × R
    0.000191749999999991 × 0.611688285797177 × 6371000     		du = 747.262418695012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91272067)-sin(0.91260339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611595501513751-0.611688285797177)×R²
    abs(-0.42855588--0.42874763)×9.27842834254067e-05×R²
    0.000191749999999991×9.27842834254067e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.27842834254067e-05×40589641000000     		ar = 558305.318214925m²