Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14146 / 7360
↖ ↑ ↗
← N 69.900118°
W 24.587403°		 ← 419.83 m → N 69.900118°
W 24.576416°		 →
↑
419.85 m
↓
↑
419.85 m
↓
N 69.896342°
W 24.587403°		 ← 419.90 m →
176 279 m²		 N 69.896342°
W 24.576416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431716918945312 y=0.224624633789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431716918945312 × 215)
    floor (0.431716918945312 × 32768)
    floor (14146.5)     		tx = 14146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224624633789062 × 215)
    floor (0.224624633789062 × 32768)
    floor (7360.5)     		ty = 7360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14146 / 7360 ti = "15/14146/7360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14146/7360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14146 ÷ 215
    14146 ÷ 32768     		x = 0.43170166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7360 ÷ 215
    7360 ÷ 32768     		y = 0.224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43170166015625 × 2 - 1) × π
    -0.1365966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42913113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224609375 × 2 - 1) × π
    0.55078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73033032868555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42913113} λ = -0.42913113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73033032868555))-π/2
    2×atan(5.64251748599914)-π/2
    2×1.39539176344744-π/2
    2.79078352689489-1.57079632675     		φ = 1.21998720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42913113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.587403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21998720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.900118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14146 KachelY 7360 -0.42913113 1.21998720 -24.587403 69.900118
    Oben rechts KachelX + 1 14147 KachelY 7360 -0.42893938 1.21998720 -24.576416 69.900118
    Unten links KachelX 14146 KachelY + 1 7361 -0.42913113 1.21992130 -24.587403 69.896342
    Unten rechts KachelX + 1 14147 KachelY + 1 7361 -0.42893938 1.21992130 -24.576416 69.896342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21998720-1.21992130) × R
    6.59000000000631e-05 × 6371000     		dl = 419.848900000402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21998720-1.21992130) × R
    6.59000000000631e-05 × 6371000     		dr = 419.848900000402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42913113--0.42893938) × cos(1.21998720) × R
    0.000191750000000046 × 0.343657766759656 × 6371000     		do = 419.825816441042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42913113--0.42893938) × cos(1.21992130) × R
    0.000191750000000046 × 0.343719652371095 × 6371000     		du = 419.901418332987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21998720)-sin(1.21992130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343657766759656-0.343719652371095)×R²
    abs(-0.42893938--0.42913113)×6.18856114393274e-05×R²
    0.000191750000000046×6.18856114393274e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.18856114393274e-05×40589641000000     		ar = 176279.277974158m²