Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14146 / 3504
↖ ↑ ↗
← N 80.327506°
W 24.587403°		 ← 205.26 m → N 80.327506°
W 24.576416°		 →
↑
205.27 m
↓
↑
205.27 m
↓
N 80.325660°
W 24.587403°		 ← 205.29 m →
42 137 m²		 N 80.325660°
W 24.576416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431716918945312 y=0.106948852539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431716918945312 × 215)
    floor (0.431716918945312 × 32768)
    floor (14146.5)     		tx = 14146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106948852539062 × 215)
    floor (0.106948852539062 × 32768)
    floor (3504.5)     		ty = 3504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14146 / 3504 ti = "15/14146/3504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14146/3504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14146 ÷ 215
    14146 ÷ 32768     		x = 0.43170166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3504 ÷ 215
    3504 ÷ 32768     		y = 0.10693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43170166015625 × 2 - 1) × π
    -0.1365966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42913113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10693359375 × 2 - 1) × π
    0.7861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.46970906842529
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42913113} λ = -0.42913113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46970906842529))-π/2
    2×atan(11.8190078288513)-π/2
    2×1.48638789271066-π/2
    2.97277578542133-1.57079632675     		φ = 1.40197946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42913113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.587403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40197946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.327506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14146 KachelY 3504 -0.42913113 1.40197946 -24.587403 80.327506
    Oben rechts KachelX + 1 14147 KachelY 3504 -0.42893938 1.40197946 -24.576416 80.327506
    Unten links KachelX 14146 KachelY + 1 3505 -0.42913113 1.40194724 -24.587403 80.325660
    Unten rechts KachelX + 1 14147 KachelY + 1 3505 -0.42893938 1.40194724 -24.576416 80.325660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40197946-1.40194724) × R
    3.22200000000272e-05 × 6371000     		dl = 205.273620000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40197946-1.40194724) × R
    3.22200000000272e-05 × 6371000     		dr = 205.273620000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42913113--0.42893938) × cos(1.40197946) × R
    0.000191750000000046 × 0.168016152863802 × 6371000     		do = 205.25512697247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42913113--0.42893938) × cos(1.40194724) × R
    0.000191750000000046 × 0.168047914744873 × 6371000     		du = 205.293928533039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40197946)-sin(1.40194724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168016152863802-0.168047914744873)×R²
    abs(-0.42893938--0.42913113)×3.17618810704301e-05×R²
    0.000191750000000046×3.17618810704301e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.17618810704301e-05×40589641000000     		ar = 42137.445408981m²