Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14146 / 18370
↖ ↑ ↗
← N 78.097163°
W141.146851°		 ← 62.99 m → N 78.097163°
W141.144104°		 →
↑
63.01 m
↓
↑
63.01 m
↓
N 78.096596°
W141.146851°		 ← 63 m →
3 969 m²		 N 78.096596°
W141.144104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107929229736328 y=0.140155792236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107929229736328 × 217)
    floor (0.107929229736328 × 131072)
    floor (14146.5)     		tx = 14146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140155792236328 × 217)
    floor (0.140155792236328 × 131072)
    floor (18370.5)     		ty = 18370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14146 / 18370 ti = "17/14146/18370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14146/18370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14146 ÷ 217
    14146 ÷ 131072     		x = 0.107925415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18370 ÷ 217
    18370 ÷ 131072     		y = 0.140151977539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.107925415039062 × 2 - 1) × π
    -0.784149169921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.46347727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140151977539062 × 2 - 1) × π
    0.719696044921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26099180747957
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46347727} λ = -2.46347727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26099180747957))-π/2
    2×atan(9.59259846119251)-π/2
    2×1.466924475943-π/2
    2.93384895188599-1.57079632675     		φ = 1.36305263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46347727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.146851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36305263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.097163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14146 KachelY 18370 -2.46347727 1.36305263 -141.146851 78.097163
    Oben rechts KachelX + 1 14147 KachelY 18370 -2.46342933 1.36305263 -141.144104 78.097163
    Unten links KachelX 14146 KachelY + 1 18371 -2.46347727 1.36304274 -141.146851 78.096596
    Unten rechts KachelX + 1 14147 KachelY + 1 18371 -2.46342933 1.36304274 -141.144104 78.096596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36305263-1.36304274) × R
    9.8900000000679e-06 × 6371000     		dl = 63.0091900004326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36305263-1.36304274) × R
    9.8900000000679e-06 × 6371000     		dr = 63.0091900004326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46347727--2.46342933) × cos(1.36305263) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206252636806436 × 6371000     		do = 62.9948642235155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46347727--2.46342933) × cos(1.36304274) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206262314149219 × 6371000     		du = 62.9978199330963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36305263)-sin(1.36304274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206252636806436-0.206262314149219)×R²
    abs(-2.46342933--2.46347727)×9.67734278317645e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.67734278317645e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.67734278317645e-06×40589641000000     		ar = 3969.34848724104m²