Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14144 / 3994
↖ ↑ ↗
← N 79.379856°
W 24.609375°		 ← 225.14 m → N 79.379856°
W 24.598389°		 →
↑
225.15 m
↓
↑
225.15 m
↓
N 79.377831°
W 24.609375°		 ← 225.19 m →
50 696 m²		 N 79.377831°
W 24.598389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431655883789062 y=0.121902465820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431655883789062 × 215)
    floor (0.431655883789062 × 32768)
    floor (14144.5)     		tx = 14144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121902465820312 × 215)
    floor (0.121902465820312 × 32768)
    floor (3994.5)     		ty = 3994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14144 / 3994 ti = "15/14144/3994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14144/3994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14144 ÷ 215
    14144 ÷ 32768     		x = 0.431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3994 ÷ 215
    3994 ÷ 32768     		y = 0.12188720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431640625 × 2 - 1) × π
    -0.13671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42951462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12188720703125 × 2 - 1) × π
    0.7562255859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.37575274516998
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42951462} λ = -0.42951462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37575274516998))-π/2
    2×atan(10.759109005987)-π/2
    2×1.47811808798025-π/2
    2.95623617596051-1.57079632675     		φ = 1.38543985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42951462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.609375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38543985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.379856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14144 KachelY 3994 -0.42951462 1.38543985 -24.609375 79.379856
    Oben rechts KachelX + 1 14145 KachelY 3994 -0.42932287 1.38543985 -24.598389 79.379856
    Unten links KachelX 14144 KachelY + 1 3995 -0.42951462 1.38540451 -24.609375 79.377831
    Unten rechts KachelX + 1 14145 KachelY + 1 3995 -0.42932287 1.38540451 -24.598389 79.377831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38543985-1.38540451) × R
    3.53399999999393e-05 × 6371000     		dl = 225.151139999613m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38543985-1.38540451) × R
    3.53399999999393e-05 × 6371000     		dr = 225.151139999613m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42951462--0.42932287) × cos(1.38543985) × R
    0.000191749999999991 × 0.184296915797265 × 6371000     		do = 225.144345991873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42951462--0.42932287) × cos(1.38540451) × R
    0.000191749999999991 × 0.184331650329724 × 6371000     		du = 225.186779060055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38543985)-sin(1.38540451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184296915797265-0.184331650329724)×R²
    abs(-0.42932287--0.42951462)×3.47345324590853e-05×R²
    0.000191749999999991×3.47345324590853e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.47345324590853e-05×40589641000000     		ar = 50696.2830970759m²