Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14143 / 3993
↖ ↑ ↗
← N 79.381880°
W 24.620361°		 ← 225.10 m → N 79.381880°
W 24.609375°		 →
↑
225.09 m
↓
↑
225.09 m
↓
N 79.379856°
W 24.620361°		 ← 225.14 m →
50 672 m²		 N 79.379856°
W 24.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431625366210938 y=0.121871948242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431625366210938 × 215)
    floor (0.431625366210938 × 32768)
    floor (14143.5)     		tx = 14143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121871948242188 × 215)
    floor (0.121871948242188 × 32768)
    floor (3993.5)     		ty = 3993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14143 / 3993 ti = "15/14143/3993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14143/3993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14143 ÷ 215
    14143 ÷ 32768     		x = 0.431610107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3993 ÷ 215
    3993 ÷ 32768     		y = 0.121856689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431610107421875 × 2 - 1) × π
    -0.13677978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42970637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121856689453125 × 2 - 1) × π
    0.75628662109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.37594449276846
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42970637} λ = -0.42970637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37594449276846))-π/2
    2×atan(10.7611722371042)-π/2
    2×1.47813575556094-π/2
    2.95627151112188-1.57079632675     		φ = 1.38547518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42970637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.620361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38547518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.381880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14143 KachelY 3993 -0.42970637 1.38547518 -24.620361 79.381880
    Oben rechts KachelX + 1 14144 KachelY 3993 -0.42951462 1.38547518 -24.609375 79.381880
    Unten links KachelX 14143 KachelY + 1 3994 -0.42970637 1.38543985 -24.620361 79.379856
    Unten rechts KachelX + 1 14144 KachelY + 1 3994 -0.42951462 1.38543985 -24.609375 79.379856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38547518-1.38543985) × R
    3.53300000000001e-05 × 6371000     		dl = 225.087430000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38547518-1.38543985) × R
    3.53300000000001e-05 × 6371000     		dr = 225.087430000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42970637--0.42951462) × cos(1.38547518) × R
    0.000191749999999991 × 0.184262190863406 × 6371000     		do = 225.101924649717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42970637--0.42951462) × cos(1.38543985) × R
    0.000191749999999991 × 0.184296915797265 × 6371000     		du = 225.144345991873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38547518)-sin(1.38543985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184262190863406-0.184296915797265)×R²
    abs(-0.42951462--0.42970637)×3.47249338591704e-05×R²
    0.000191749999999991×3.47249338591704e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.47249338591704e-05×40589641000000     		ar = 50672.3879680638m²