Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14142 / 7403
↖ ↑ ↗
← N 69.737140°
W 24.631348°		 ← 423.09 m → N 69.737140°
W 24.620361°		 →
↑
423.16 m
↓
↑
423.16 m
↓
N 69.733334°
W 24.631348°		 ← 423.16 m →
179 051 m²		 N 69.733334°
W 24.620361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431594848632812 y=0.225936889648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431594848632812 × 215)
    floor (0.431594848632812 × 32768)
    floor (14142.5)     		tx = 14142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225936889648438 × 215)
    floor (0.225936889648438 × 32768)
    floor (7403.5)     		ty = 7403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14142 / 7403 ti = "15/14142/7403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14142/7403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14142 ÷ 215
    14142 ÷ 32768     		x = 0.43157958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7403 ÷ 215
    7403 ÷ 32768     		y = 0.225921630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43157958984375 × 2 - 1) × π
    -0.1368408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42989812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225921630859375 × 2 - 1) × π
    0.54815673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.7220851819509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42989812} λ = -0.42989812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7220851819509))-π/2
    2×atan(5.59618537139653)-π/2
    2×1.39396951187402-π/2
    2.78793902374803-1.57079632675     		φ = 1.21714270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42989812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.631348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21714270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.737140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14142 KachelY 7403 -0.42989812 1.21714270 -24.631348 69.737140
    Oben rechts KachelX + 1 14143 KachelY 7403 -0.42970637 1.21714270 -24.620361 69.737140
    Unten links KachelX 14142 KachelY + 1 7404 -0.42989812 1.21707628 -24.631348 69.733334
    Unten rechts KachelX + 1 14143 KachelY + 1 7404 -0.42970637 1.21707628 -24.620361 69.733334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21714270-1.21707628) × R
    6.64200000000115e-05 × 6371000     		dl = 423.161820000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21714270-1.21707628) × R
    6.64200000000115e-05 × 6371000     		dr = 423.161820000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42989812--0.42970637) × cos(1.21714270) × R
    0.000191749999999991 × 0.346327628466686 × 6371000     		do = 423.0874242943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42989812--0.42970637) × cos(1.21707628) × R
    0.000191749999999991 × 0.346389937209692 × 6371000     		du = 423.163543100375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21714270)-sin(1.21707628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346327628466686-0.346389937209692)×R²
    abs(-0.42970637--0.42989812)×6.23087430067226e-05×R²
    0.000191749999999991×6.23087430067226e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.23087430067226e-05×40589641000000     		ar = 179050.549835606m²