Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14142 / 10429
↖ ↑ ↗
← N 76.602364°
W102.315674°		 ← 141.52 m → N 76.602364°
W102.310181°		 →
↑
141.56 m
↓
↑
141.56 m
↓
N 76.601091°
W102.315674°		 ← 141.54 m →
20 036 m²		 N 76.601091°
W102.310181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.215797424316406 y=0.159141540527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.215797424316406 × 216)
    floor (0.215797424316406 × 65536)
    floor (14142.5)     		tx = 14142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159141540527344 × 216)
    floor (0.159141540527344 × 65536)
    floor (10429.5)     		ty = 10429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14142 / 10429 ti = "16/14142/10429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14142/10429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14142 ÷ 216
    14142 ÷ 65536     		x = 0.215789794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10429 ÷ 216
    10429 ÷ 65536     		y = 0.159133911132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.215789794921875 × 2 - 1) × π
    -0.56842041015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.78574538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159133911132812 × 2 - 1) × π
    0.681732177734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14172480122487
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.78574538} λ = -1.78574538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14172480122487))-π/2
    2×atan(8.51411011924631)-π/2
    2×1.4538798969531-π/2
    2.90775979390619-1.57079632675     		φ = 1.33696347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.78574538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.315674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33696347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.602364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14142 KachelY 10429 -1.78574538 1.33696347 -102.315674 76.602364
    Oben rechts KachelX + 1 14143 KachelY 10429 -1.78564951 1.33696347 -102.310181 76.602364
    Unten links KachelX 14142 KachelY + 1 10430 -1.78574538 1.33694125 -102.315674 76.601091
    Unten rechts KachelX + 1 14143 KachelY + 1 10430 -1.78564951 1.33694125 -102.310181 76.601091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33696347-1.33694125) × R
    2.22199999999617e-05 × 6371000     		dl = 141.563619999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33696347-1.33694125) × R
    2.22199999999617e-05 × 6371000     		dr = 141.563619999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.78574538--1.78564951) × cos(1.33696347) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.231707763672719 × 6371000     		do = 141.524268265344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.78574538--1.78564951) × cos(1.33694125) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.231729378907993 × 6371000     		du = 141.537470586695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33696347)-sin(1.33694125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231707763672719-0.231729378907993)×R²
    abs(-1.78564951--1.78574538)×2.16152352743582e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.16152352743582e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.16152352743582e-05×40589641000000     		ar = 20035.6222183966m²