Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14141 / 3990
↖ ↑ ↗
← N 79.387952°
W 24.642334°		 ← 224.96 m → N 79.387952°
W 24.631348°		 →
↑
225.02 m
↓
↑
225.02 m
↓
N 79.385928°
W 24.642334°		 ← 225.01 m →
50 627 m²		 N 79.385928°
W 24.631348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431564331054688 y=0.121780395507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431564331054688 × 215)
    floor (0.431564331054688 × 32768)
    floor (14141.5)     		tx = 14141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121780395507812 × 215)
    floor (0.121780395507812 × 32768)
    floor (3990.5)     		ty = 3990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14141 / 3990 ti = "15/14141/3990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14141/3990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14141 ÷ 215
    14141 ÷ 32768     		x = 0.431549072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3990 ÷ 215
    3990 ÷ 32768     		y = 0.12176513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431549072265625 × 2 - 1) × π
    -0.13690185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43008986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12176513671875 × 2 - 1) × π
    0.7564697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.3765197355639
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43008986} λ = -0.43008986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3765197355639))-π/2
    2×atan(10.7673643047044)-π/2
    2×1.47818873832905-π/2
    2.95637747665809-1.57079632675     		φ = 1.38558115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43008986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.642334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38558115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.387952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14141 KachelY 3990 -0.43008986 1.38558115 -24.642334 79.387952
    Oben rechts KachelX + 1 14142 KachelY 3990 -0.42989812 1.38558115 -24.631348 79.387952
    Unten links KachelX 14141 KachelY + 1 3991 -0.43008986 1.38554583 -24.642334 79.385928
    Unten rechts KachelX + 1 14142 KachelY + 1 3991 -0.42989812 1.38554583 -24.631348 79.385928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38558115-1.38554583) × R
    3.53199999998388e-05 × 6371000     		dl = 225.023719998973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38558115-1.38554583) × R
    3.53199999998388e-05 × 6371000     		dr = 225.023719998973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43008986--0.42989812) × cos(1.38558115) × R
    0.000191739999999996 × 0.184158034339948 × 6371000     		do = 224.962950244156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43008986--0.42989812) × cos(1.38554583) × R
    0.000191739999999996 × 0.184192750134639 × 6371000     		du = 225.005358209802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38558115)-sin(1.38554583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184158034339948-0.184192750134639)×R²
    abs(-0.42989812--0.43008986)×3.47157946905541e-05×R²
    0.000191739999999996×3.47157946905541e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.47157946905541e-05×40589641000000     		ar = 50626.7713309347m²