Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14141 / 10691
↖ ↑ ↗
← N 52.889021°
W 24.642334°		 ← 737.05 m → N 52.889021°
W 24.631348°		 →
↑
737.19 m
↓
↑
737.19 m
↓
N 52.882391°
W 24.642334°		 ← 737.16 m →
543 387 m²		 N 52.882391°
W 24.631348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431564331054688 y=0.326278686523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431564331054688 × 215)
    floor (0.431564331054688 × 32768)
    floor (14141.5)     		tx = 14141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326278686523438 × 215)
    floor (0.326278686523438 × 32768)
    floor (10691.5)     		ty = 10691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14141 / 10691 ti = "15/14141/10691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14141/10691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14141 ÷ 215
    14141 ÷ 32768     		x = 0.431549072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10691 ÷ 215
    10691 ÷ 32768     		y = 0.326263427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431549072265625 × 2 - 1) × π
    -0.13690185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43008986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326263427734375 × 2 - 1) × π
    0.34747314453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.09161907814792
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43008986} λ = -0.43008986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09161907814792))-π/2
    2×atan(2.97909355522658)-π/2
    2×1.24694193588282-π/2
    2.49388387176565-1.57079632675     		φ = 0.92308755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43008986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.642334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92308755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.889021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14141 KachelY 10691 -0.43008986 0.92308755 -24.642334 52.889021
    Oben rechts KachelX + 1 14142 KachelY 10691 -0.42989812 0.92308755 -24.631348 52.889021
    Unten links KachelX 14141 KachelY + 1 10692 -0.43008986 0.92297184 -24.642334 52.882391
    Unten rechts KachelX + 1 14142 KachelY + 1 10692 -0.42989812 0.92297184 -24.631348 52.882391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92308755-0.92297184) × R
    0.000115709999999991 × 6371000     		dl = 737.188409999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92308755-0.92297184) × R
    0.000115709999999991 × 6371000     		dr = 737.188409999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43008986--0.42989812) × cos(0.92308755) × R
    0.000191739999999996 × 0.603360813135527 × 6371000     		do = 737.050811120854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43008986--0.42989812) × cos(0.92297184) × R
    0.000191739999999996 × 0.603453084156052 × 6371000     		du = 737.163527142579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92308755)-sin(0.92297184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603360813135527-0.603453084156052)×R²
    abs(-0.42989812--0.43008986)×9.22710205250032e-05×R²
    0.000191739999999996×9.22710205250032e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.22710205250032e-05×40589641000000     		ar = 543386.862617602m²