Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14140 / 10428
↖ ↑ ↗
← N 76.603637°
W102.326660°		 ← 141.51 m → N 76.603637°
W102.321167°		 →
↑
141.50 m
↓
↑
141.50 m
↓
N 76.602364°
W102.326660°		 ← 141.52 m →
20 025 m²		 N 76.602364°
W102.321167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.215766906738281 y=0.159126281738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.215766906738281 × 216)
    floor (0.215766906738281 × 65536)
    floor (14140.5)     		tx = 14140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159126281738281 × 216)
    floor (0.159126281738281 × 65536)
    floor (10428.5)     		ty = 10428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14140 / 10428 ti = "16/14140/10428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14140/10428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14140 ÷ 216
    14140 ÷ 65536     		x = 0.21575927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10428 ÷ 216
    10428 ÷ 65536     		y = 0.15911865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21575927734375 × 2 - 1) × π
    -0.5684814453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.78593713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15911865234375 × 2 - 1) × π
    0.6817626953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.14182067502411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.78593713} λ = -1.78593713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14182067502411))-π/2
    2×atan(8.51492643846178)-π/2
    2×1.45389100378709-π/2
    2.90778200757418-1.57079632675     		φ = 1.33698568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.78593713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.326660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33698568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.603637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14140 KachelY 10428 -1.78593713 1.33698568 -102.326660 76.603637
    Oben rechts KachelX + 1 14141 KachelY 10428 -1.78584126 1.33698568 -102.321167 76.603637
    Unten links KachelX 14140 KachelY + 1 10429 -1.78593713 1.33696347 -102.326660 76.602364
    Unten rechts KachelX + 1 14141 KachelY + 1 10429 -1.78584126 1.33696347 -102.321167 76.602364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33698568-1.33696347) × R
    2.22100000000225e-05 × 6371000     		dl = 141.499910000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33698568-1.33696347) × R
    2.22100000000225e-05 × 6371000     		dr = 141.499910000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.78593713--1.78584126) × cos(1.33698568) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.23168615805095 × 6371000     		do = 141.511071815804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.78593713--1.78584126) × cos(1.33696347) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.231707763672719 × 6371000     		du = 141.524268265344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33698568)-sin(1.33696347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23168615805095-0.231707763672719)×R²
    abs(-1.78584126--1.78593713)×2.16056217692828e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.16056217692828e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.16056217692828e-05×40589641000000     		ar = 20024.7375750226m²