Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1414 / 650
↖ ↑ ↗
← N 54.775346°
E 68.554687°		 ← 11.274 km → N 54.775346°
E 68.730469°		 →
↑
11.288 km
↓
↑
11.288 km
↓
N 54.673831°
E 68.554687°		 ← 11.302 km →
127.417 km²		 N 54.673831°
E 68.730469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690673828125 y=0.317626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690673828125 × 211)
    floor (0.690673828125 × 2048)
    floor (1414.5)     		tx = 1414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317626953125 × 211)
    floor (0.317626953125 × 2048)
    floor (650.5)     		ty = 650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1414 / 650 ti = "11/1414/650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1414/650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1414 ÷ 211
    1414 ÷ 2048     		x = 0.6904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 650 ÷ 211
    650 ÷ 2048     		y = 0.3173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6904296875 × 2 - 1) × π
    0.380859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19650501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3173828125 × 2 - 1) × π
    0.365234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14741762930566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19650501} λ = 1.19650501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14741762930566))-π/2
    2×atan(3.15004780623735)-π/2
    2×1.26340323047027-π/2
    2.52680646094053-1.57079632675     		φ = 0.95601013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19650501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.554687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95601013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.775346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1414 KachelY 650 1.19650501 0.95601013 68.554687 54.775346
    Oben rechts KachelX + 1 1415 KachelY 650 1.19957298 0.95601013 68.730469 54.775346
    Unten links KachelX 1414 KachelY + 1 651 1.19650501 0.95423837 68.554687 54.673831
    Unten rechts KachelX + 1 1415 KachelY + 1 651 1.19957298 0.95423837 68.730469 54.673831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95601013-0.95423837) × R
    0.00177176000000001 × 6371000     		dl = 11287.8829600001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95601013-0.95423837) × R
    0.00177176000000001 × 6371000     		dr = 11287.8829600001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19650501-1.19957298) × cos(0.95601013) × R
    0.00306796999999981 × 0.576783880319027 × 6371000     		do = 11273.8389907367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19650501-1.19957298) × cos(0.95423837) × R
    0.00306796999999981 × 0.578230319306918 × 6371000     		du = 11302.1111405242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95601013)-sin(0.95423837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576783880319027-0.578230319306918)×R²
    abs(1.19957298-1.19650501)×0.00144643898789099×R²
    0.00306796999999981×0.00144643898789099×6371000²
    0.00306796999999981×0.00144643898789099×40589641000000     		ar = 127417374.727918m²