Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1414 / 649
↖ ↑ ↗
← N 54.876607°
E 68.554687°		 ← 11.246 km → N 54.876607°
E 68.730469°		 →
↑
11.260 km
↓
↑
11.260 km
↓
N 54.775346°
E 68.554687°		 ← 11.274 km →
126.781 km²		 N 54.775346°
E 68.730469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690673828125 y=0.317138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690673828125 × 211)
    floor (0.690673828125 × 2048)
    floor (1414.5)     		tx = 1414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317138671875 × 211)
    floor (0.317138671875 × 2048)
    floor (649.5)     		ty = 649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1414 / 649 ti = "11/1414/649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1414/649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1414 ÷ 211
    1414 ÷ 2048     		x = 0.6904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 649 ÷ 211
    649 ÷ 2048     		y = 0.31689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6904296875 × 2 - 1) × π
    0.380859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19650501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31689453125 × 2 - 1) × π
    0.3662109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.15048559088135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19650501} λ = 1.19650501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15048559088135))-π/2
    2×atan(3.15972687177711)-π/2
    2×1.264286897606-π/2
    2.528573795212-1.57079632675     		φ = 0.95777747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19650501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.554687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95777747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.876607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1414 KachelY 649 1.19650501 0.95777747 68.554687 54.876607
    Oben rechts KachelX + 1 1415 KachelY 649 1.19957298 0.95777747 68.730469 54.876607
    Unten links KachelX 1414 KachelY + 1 650 1.19650501 0.95601013 68.554687 54.775346
    Unten rechts KachelX + 1 1415 KachelY + 1 650 1.19957298 0.95601013 68.730469 54.775346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95777747-0.95601013) × R
    0.00176734000000001 × 6371000     		dl = 11259.72314m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95777747-0.95601013) × R
    0.00176734000000001 × 6371000     		dr = 11259.72314m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19650501-1.19957298) × cos(0.95777747) × R
    0.00306796999999981 × 0.575339245919403 × 6371000     		do = 11245.602113498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19650501-1.19957298) × cos(0.95601013) × R
    0.00306796999999981 × 0.576783880319027 × 6371000     		du = 11273.8389907367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95777747)-sin(0.95601013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575339245919403-0.576783880319027)×R²
    abs(1.19957298-1.19650501)×0.00144463439962395×R²
    0.00306796999999981×0.00144463439962395×6371000²
    0.00306796999999981×0.00144463439962395×40589641000000     		ar = 126781369.050649m²