Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14139 / 11209
↖ ↑ ↗
← N 49.317961°
W 24.664307°		 ← 796.34 m → N 49.317961°
W 24.653320°		 →
↑
796.38 m
↓
↑
796.38 m
↓
N 49.310799°
W 24.664307°		 ← 796.45 m →
634 230 m²		 N 49.310799°
W 24.653320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431503295898438 y=0.342086791992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431503295898438 × 215)
    floor (0.431503295898438 × 32768)
    floor (14139.5)     		tx = 14139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342086791992188 × 215)
    floor (0.342086791992188 × 32768)
    floor (11209.5)     		ty = 11209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14139 / 11209 ti = "15/14139/11209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14139/11209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14139 ÷ 215
    14139 ÷ 32768     		x = 0.431488037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11209 ÷ 215
    11209 ÷ 32768     		y = 0.342071533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431488037109375 × 2 - 1) × π
    -0.13702392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43047336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342071533203125 × 2 - 1) × π
    0.31585693359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.992293822135162
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43047336} λ = -0.43047336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.992293822135162))-π/2
    2×atan(2.69741477109602)-π/2
    2×1.21577856291451-π/2
    2.43155712582902-1.57079632675     		φ = 0.86076080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43047336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.664307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86076080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.317961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14139 KachelY 11209 -0.43047336 0.86076080 -24.664307 49.317961
    Oben rechts KachelX + 1 14140 KachelY 11209 -0.43028161 0.86076080 -24.653320 49.317961
    Unten links KachelX 14139 KachelY + 1 11210 -0.43047336 0.86063580 -24.664307 49.310799
    Unten rechts KachelX + 1 14140 KachelY + 1 11210 -0.43028161 0.86063580 -24.653320 49.310799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86076080-0.86063580) × R
    0.000125000000000042 × 6371000     		dl = 796.375000000266m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86076080-0.86063580) × R
    0.000125000000000042 × 6371000     		dr = 796.375000000266m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43047336--0.43028161) × cos(0.86076080) × R
    0.000191750000000046 × 0.651860712777 × 6371000     		do = 796.338632261551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43047336--0.43028161) × cos(0.86063580) × R
    0.000191750000000046 × 0.651955500023835 × 6371000     		du = 796.454428082684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86076080)-sin(0.86063580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651860712777-0.651955500023835)×R²
    abs(-0.43028161--0.43047336)×9.47872468347599e-05×R²
    0.000191750000000046×9.47872468347599e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.47872468347599e-05×40589641000000     		ar = 634230.287541737m²