Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14138 / 7351
↖ ↑ ↗
← N 69.934070°
W 24.675293°		 ← 419.15 m → N 69.934070°
W 24.664307°		 →
↑
419.15 m
↓
↑
419.15 m
↓
N 69.930300°
W 24.675293°		 ← 419.22 m →
175 700 m²		 N 69.930300°
W 24.664307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431472778320312 y=0.224349975585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431472778320312 × 215)
    floor (0.431472778320312 × 32768)
    floor (14138.5)     		tx = 14138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224349975585938 × 215)
    floor (0.224349975585938 × 32768)
    floor (7351.5)     		ty = 7351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14138 / 7351 ti = "15/14138/7351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14138/7351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14138 ÷ 215
    14138 ÷ 32768     		x = 0.43145751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7351 ÷ 215
    7351 ÷ 32768     		y = 0.224334716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43145751953125 × 2 - 1) × π
    -0.1370849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43066511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224334716796875 × 2 - 1) × π
    0.55133056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.73205605707187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43066511} λ = -0.43066511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73205605707187))-π/2
    2×atan(5.65226334552955)-π/2
    2×1.39568805325977-π/2
    2.79137610651955-1.57079632675     		φ = 1.22057978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43066511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.675293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22057978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.934070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14138 KachelY 7351 -0.43066511 1.22057978 -24.675293 69.934070
    Oben rechts KachelX + 1 14139 KachelY 7351 -0.43047336 1.22057978 -24.664307 69.934070
    Unten links KachelX 14138 KachelY + 1 7352 -0.43066511 1.22051399 -24.675293 69.930300
    Unten rechts KachelX + 1 14139 KachelY + 1 7352 -0.43047336 1.22051399 -24.664307 69.930300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22057978-1.22051399) × R
    6.57900000000655e-05 × 6371000     		dl = 419.148090000417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22057978-1.22051399) × R
    6.57900000000655e-05 × 6371000     		dr = 419.148090000417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43066511--0.43047336) × cos(1.22057978) × R
    0.000191749999999991 × 0.343101217564372 × 6371000     		do = 419.145914099405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43066511--0.43047336) × cos(1.22051399) × R
    0.000191749999999991 × 0.343163013265997 × 6371000     		du = 419.221406153992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22057978)-sin(1.22051399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343101217564372-0.343163013265997)×R²
    abs(-0.43047336--0.43066511)×6.17957016255111e-05×R²
    0.000191749999999991×6.17957016255111e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.17957016255111e-05×40589641000000     		ar = 175700.030565257m²