Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14138 / 3976
↖ ↑ ↗
← N 79.416240°
W 24.675293°		 ← 224.38 m → N 79.416240°
W 24.664307°		 →
↑
224.39 m
↓
↑
224.39 m
↓
N 79.414222°
W 24.675293°		 ← 224.42 m →
50 353 m²		 N 79.414222°
W 24.664307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431472778320312 y=0.121353149414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431472778320312 × 215)
    floor (0.431472778320312 × 32768)
    floor (14138.5)     		tx = 14138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121353149414062 × 215)
    floor (0.121353149414062 × 32768)
    floor (3976.5)     		ty = 3976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14138 / 3976 ti = "15/14138/3976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14138/3976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14138 ÷ 215
    14138 ÷ 32768     		x = 0.43145751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3976 ÷ 215
    3976 ÷ 32768     		y = 0.121337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43145751953125 × 2 - 1) × π
    -0.1370849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43066511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121337890625 × 2 - 1) × π
    0.75732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.37920420194263
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43066511} λ = -0.43066511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37920420194263))-π/2
    2×atan(10.7963077636577)-π/2
    2×1.47843559552884-π/2
    2.95687119105767-1.57079632675     		φ = 1.38607486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43066511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.675293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38607486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.416240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14138 KachelY 3976 -0.43066511 1.38607486 -24.675293 79.416240
    Oben rechts KachelX + 1 14139 KachelY 3976 -0.43047336 1.38607486 -24.664307 79.416240
    Unten links KachelX 14138 KachelY + 1 3977 -0.43066511 1.38603964 -24.675293 79.414222
    Unten rechts KachelX + 1 14139 KachelY + 1 3977 -0.43047336 1.38603964 -24.664307 79.414222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38607486-1.38603964) × R
    3.52200000000025e-05 × 6371000     		dl = 224.386620000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38607486-1.38603964) × R
    3.52200000000025e-05 × 6371000     		dr = 224.386620000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43066511--0.43047336) × cos(1.38607486) × R
    0.000191749999999991 × 0.183672746011926 × 6371000     		do = 224.381835683439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43066511--0.43047336) × cos(1.38603964) × R
    0.000191749999999991 × 0.18370736671591 × 6371000     		du = 224.424129694288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38607486)-sin(1.38603964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183672746011926-0.18370736671591)×R²
    abs(-0.43047336--0.43066511)×3.4620703983218e-05×R²
    0.000191749999999991×3.4620703983218e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.4620703983218e-05×40589641000000     		ar = 50353.0268086683m²