Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 14136 / 18248
↖ ↑ ↗
← N 78.166077°
W141.174316°		 ← 62.64 m → N 78.166077°
W141.171570°		 →
↑
62.63 m
↓
↑
62.63 m
↓
N 78.165514°
W141.174316°		 ← 62.64 m →
3 923 m²		 N 78.165514°
W141.171570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107852935791016 y=0.139225006103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107852935791016 × 217)
    floor (0.107852935791016 × 131072)
    floor (14136.5)     		tx = 14136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139225006103516 × 217)
    floor (0.139225006103516 × 131072)
    floor (18248.5)     		ty = 18248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14136 / 18248 ti = "17/14136/18248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14136/18248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14136 ÷ 217
    14136 ÷ 131072     		x = 0.10784912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18248 ÷ 217
    18248 ÷ 131072     		y = 0.13922119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10784912109375 × 2 - 1) × π
    -0.7843017578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.46395664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13922119140625 × 2 - 1) × π
    0.7215576171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26684010923322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46395664} λ = -2.46395664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26684010923322))-π/2
    2×atan(9.64886323792448)-π/2
    2×1.46752586725126-π/2
    2.93505173450251-1.57079632675     		φ = 1.36425541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46395664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.174316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36425541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.166077°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14136 KachelY 18248 -2.46395664 1.36425541 -141.174316 78.166077
    Oben rechts KachelX + 1 14137 KachelY 18248 -2.46390870 1.36425541 -141.171570 78.166077
    Unten links KachelX 14136 KachelY + 1 18249 -2.46395664 1.36424558 -141.174316 78.165514
    Unten rechts KachelX + 1 14137 KachelY + 1 18249 -2.46390870 1.36424558 -141.171570 78.165514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36425541-1.36424558) × R
    9.82999999998846e-06 × 6371000     		dl = 62.6269299999265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36425541-1.36424558) × R
    9.82999999998846e-06 × 6371000     		dr = 62.6269299999265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46395664--2.46390870) × cos(1.36425541) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205075569144637 × 6371000     		do = 62.6353574618809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46395664--2.46390870) × cos(1.36424558) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205085190209307 × 6371000     		du = 62.6382959826773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36425541)-sin(1.36424558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205075569144637-0.205085190209307)×R²
    abs(-2.46390870--2.46395664)×9.62106466989576e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.62106466989576e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.62106466989576e-06×40589641000000     		ar = 3922.75216264986m²