Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14132 / 11181
↖ ↑ ↗
← N 49.518076°
W 24.741211°		 ← 793.10 m → N 49.518076°
W 24.730224°		 →
↑
793.13 m
↓
↑
793.13 m
↓
N 49.510944°
W 24.741211°		 ← 793.21 m →
629 072 m²		 N 49.510944°
W 24.730224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431289672851562 y=0.341232299804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431289672851562 × 215)
    floor (0.431289672851562 × 32768)
    floor (14132.5)     		tx = 14132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341232299804688 × 215)
    floor (0.341232299804688 × 32768)
    floor (11181.5)     		ty = 11181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14132 / 11181 ti = "15/14132/11181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14132/11181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14132 ÷ 215
    14132 ÷ 32768     		x = 0.4312744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11181 ÷ 215
    11181 ÷ 32768     		y = 0.341217041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4312744140625 × 2 - 1) × π
    -0.137451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43181559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341217041015625 × 2 - 1) × π
    0.31756591796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.997662754892609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43181559} λ = -0.43181559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.997662754892609))-π/2
    2×atan(2.71193595637302)-π/2
    2×1.21752490003052-π/2
    2.43504980006104-1.57079632675     		φ = 0.86425347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43181559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.741211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86425347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.518076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14132 KachelY 11181 -0.43181559 0.86425347 -24.741211 49.518076
    Oben rechts KachelX + 1 14133 KachelY 11181 -0.43162384 0.86425347 -24.730224 49.518076
    Unten links KachelX 14132 KachelY + 1 11182 -0.43181559 0.86412898 -24.741211 49.510944
    Unten rechts KachelX + 1 14133 KachelY + 1 11182 -0.43162384 0.86412898 -24.730224 49.510944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86425347-0.86412898) × R
    0.000124489999999922 × 6371000     		dl = 793.125789999501m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86425347-0.86412898) × R
    0.000124489999999922 × 6371000     		dr = 793.125789999501m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43181559--0.43162384) × cos(0.86425347) × R
    0.000191750000000046 × 0.649208115335121 × 6371000     		do = 793.098115112101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43181559--0.43162384) × cos(0.86412898) × R
    0.000191750000000046 × 0.649302798745507 × 6371000     		du = 793.213784082553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86425347)-sin(0.86412898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649208115335121-0.649302798745507)×R²
    abs(-0.43162384--0.43181559)×9.46834103862093e-05×R²
    0.000191750000000046×9.46834103862093e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.46834103862093e-05×40589641000000     		ar = 629072.439930112m²