Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14132 / 10812
↖ ↑ ↗
← N 52.079506°
W 24.741211°		 ← 750.78 m → N 52.079506°
W 24.730224°		 →
↑
750.82 m
↓
↑
750.82 m
↓
N 52.072754°
W 24.741211°		 ← 750.89 m →
563 745 m²		 N 52.072754°
W 24.730224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431289672851562 y=0.329971313476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431289672851562 × 215)
    floor (0.431289672851562 × 32768)
    floor (14132.5)     		tx = 14132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329971313476562 × 215)
    floor (0.329971313476562 × 32768)
    floor (10812.5)     		ty = 10812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14132 / 10812 ti = "15/14132/10812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14132/10812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14132 ÷ 215
    14132 ÷ 32768     		x = 0.4312744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10812 ÷ 215
    10812 ÷ 32768     		y = 0.3299560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4312744140625 × 2 - 1) × π
    -0.137451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43181559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3299560546875 × 2 - 1) × π
    0.340087890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06841761873181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43181559} λ = -0.43181559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06841761873181))-π/2
    2×atan(2.91076990609592)-π/2
    2×1.23987758967727-π/2
    2.47975517935454-1.57079632675     		φ = 0.90895885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43181559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.741211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90895885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.079506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14132 KachelY 10812 -0.43181559 0.90895885 -24.741211 52.079506
    Oben rechts KachelX + 1 14133 KachelY 10812 -0.43162384 0.90895885 -24.730224 52.079506
    Unten links KachelX 14132 KachelY + 1 10813 -0.43181559 0.90884100 -24.741211 52.072754
    Unten rechts KachelX + 1 14133 KachelY + 1 10813 -0.43162384 0.90884100 -24.730224 52.072754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90895885-0.90884100) × R
    0.000117849999999975 × 6371000     		dl = 750.82234999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90895885-0.90884100) × R
    0.000117849999999975 × 6371000     		dr = 750.82234999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43181559--0.43162384) × cos(0.90895885) × R
    0.000191750000000046 × 0.614567408510767 × 6371000     		do = 750.779668007717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43181559--0.43162384) × cos(0.90884100) × R
    0.000191750000000046 × 0.614660371901798 × 6371000     		du = 750.893235735014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90895885)-sin(0.90884100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614567408510767-0.614660371901798)×R²
    abs(-0.43162384--0.43181559)×9.29633910310423e-05×R²
    0.000191750000000046×9.29633910310423e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.29633910310423e-05×40589641000000     		ar = 563744.78991157m²