Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14130 / 18274
↖ ↑ ↗
← N 78.151423°
W141.190796°		 ← 62.71 m → N 78.151423°
W141.188049°		 →
↑
62.69 m
↓
↑
62.69 m
↓
N 78.150859°
W141.190796°		 ← 62.71 m →
3 932 m²		 N 78.150859°
W141.188049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107807159423828 y=0.139423370361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107807159423828 × 217)
    floor (0.107807159423828 × 131072)
    floor (14130.5)     		tx = 14130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139423370361328 × 217)
    floor (0.139423370361328 × 131072)
    floor (18274.5)     		ty = 18274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14130 / 18274 ti = "17/14130/18274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14130/18274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14130 ÷ 217
    14130 ÷ 131072     		x = 0.107803344726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18274 ÷ 217
    18274 ÷ 131072     		y = 0.139419555664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.107803344726562 × 2 - 1) × π
    -0.784393310546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.46424426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139419555664062 × 2 - 1) × π
    0.721160888671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26559374984309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46424426} λ = -2.46424426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26559374984309))-π/2
    2×atan(9.63684477783998)-π/2
    2×1.46739799033989-π/2
    2.93479598067979-1.57079632675     		φ = 1.36399965
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46424426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.190796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36399965 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.151423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14130 KachelY 18274 -2.46424426 1.36399965 -141.190796 78.151423
    Oben rechts KachelX + 1 14131 KachelY 18274 -2.46419632 1.36399965 -141.188049 78.151423
    Unten links KachelX 14130 KachelY + 1 18275 -2.46424426 1.36398981 -141.190796 78.150859
    Unten rechts KachelX + 1 14131 KachelY + 1 18275 -2.46419632 1.36398981 -141.188049 78.150859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36399965-1.36398981) × R
    9.83999999992768e-06 × 6371000     		dl = 62.6906399995393m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36399965-1.36398981) × R
    9.83999999992768e-06 × 6371000     		dr = 62.6906399995393m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46424426--2.46419632) × cos(1.36399965) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205325886547924 × 6371000     		do = 62.7118108400146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46424426--2.46419632) × cos(1.36398981) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205335516883599 × 6371000     		du = 62.7147521924145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36399965)-sin(1.36398981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205325886547924-0.205335516883599)×R²
    abs(-2.46419632--2.46424426)×9.63033567472071e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.63033567472071e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.63033567472071e-06×40589641000000     		ar = 3931.53575480754m²