Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14130 / 11184
↖ ↑ ↗
← N 49.496675°
W 24.763184°		 ← 793.45 m → N 49.496675°
W 24.752197°		 →
↑
793.51 m
↓
↑
793.51 m
↓
N 49.489538°
W 24.763184°		 ← 793.56 m →
629 651 m²		 N 49.489538°
W 24.752197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431228637695312 y=0.341323852539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431228637695312 × 215)
    floor (0.431228637695312 × 32768)
    floor (14130.5)     		tx = 14130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341323852539062 × 215)
    floor (0.341323852539062 × 32768)
    floor (11184.5)     		ty = 11184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14130 / 11184 ti = "15/14130/11184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14130/11184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14130 ÷ 215
    14130 ÷ 32768     		x = 0.43121337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11184 ÷ 215
    11184 ÷ 32768     		y = 0.34130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43121337890625 × 2 - 1) × π
    -0.1375732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43219909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34130859375 × 2 - 1) × π
    0.3173828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.997087512097168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43219909} λ = -0.43219909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.997087512097168))-π/2
    2×atan(2.71037638336199)-π/2
    2×1.21733813303438-π/2
    2.43467626606875-1.57079632675     		φ = 0.86387994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43219909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.763184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86387994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.496675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14130 KachelY 11184 -0.43219909 0.86387994 -24.763184 49.496675
    Oben rechts KachelX + 1 14131 KachelY 11184 -0.43200734 0.86387994 -24.752197 49.496675
    Unten links KachelX 14130 KachelY + 1 11185 -0.43219909 0.86375539 -24.763184 49.489538
    Unten rechts KachelX + 1 14131 KachelY + 1 11185 -0.43200734 0.86375539 -24.752197 49.489538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86387994-0.86375539) × R
    0.000124550000000001 × 6371000     		dl = 793.508050000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86387994-0.86375539) × R
    0.000124550000000001 × 6371000     		dr = 793.508050000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43219909--0.43200734) × cos(0.86387994) × R
    0.000191749999999991 × 0.649492180998693 × 6371000     		do = 793.445140876069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43219909--0.43200734) × cos(0.86375539) × R
    0.000191749999999991 × 0.649586879828853 × 6371000     		du = 793.560828683921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86387994)-sin(0.86375539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649492180998693-0.649586879828853)×R²
    abs(-0.43200734--0.43219909)×9.46988301595564e-05×R²
    0.000191749999999991×9.46988301595564e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.46988301595564e-05×40589641000000     		ar = 629651.006935888m²