Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14129 / 4060
↖ ↑ ↗
← N 79.245389°
W 24.774170°		 ← 227.95 m → N 79.245389°
W 24.763184°		 →
↑
228.02 m
↓
↑
228.02 m
↓
N 79.243338°
W 24.774170°		 ← 227.99 m →
51 982 m²		 N 79.243338°
W 24.763184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431198120117188 y=0.123916625976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431198120117188 × 215)
    floor (0.431198120117188 × 32768)
    floor (14129.5)     		tx = 14129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123916625976562 × 215)
    floor (0.123916625976562 × 32768)
    floor (4060.5)     		ty = 4060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14129 / 4060 ti = "15/14129/4060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14129/4060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14129 ÷ 215
    14129 ÷ 32768     		x = 0.431182861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4060 ÷ 215
    4060 ÷ 32768     		y = 0.1239013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431182861328125 × 2 - 1) × π
    -0.13763427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43239083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1239013671875 × 2 - 1) × π
    0.752197265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36309740367029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43239083} λ = -0.43239083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36309740367029))-π/2
    2×atan(10.6238067611437)-π/2
    2×1.47694463593962-π/2
    2.95388927187925-1.57079632675     		φ = 1.38309295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43239083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.774170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38309295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.245389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14129 KachelY 4060 -0.43239083 1.38309295 -24.774170 79.245389
    Oben rechts KachelX + 1 14130 KachelY 4060 -0.43219909 1.38309295 -24.763184 79.245389
    Unten links KachelX 14129 KachelY + 1 4061 -0.43239083 1.38305716 -24.774170 79.243338
    Unten rechts KachelX + 1 14130 KachelY + 1 4061 -0.43219909 1.38305716 -24.763184 79.243338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38309295-1.38305716) × R
    3.5790000000091e-05 × 6371000     		dl = 228.01809000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38309295-1.38305716) × R
    3.5790000000091e-05 × 6371000     		dr = 228.01809000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43239083--0.43219909) × cos(1.38309295) × R
    0.000191739999999996 × 0.186603105179365 × 6371000     		do = 227.949788975154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43239083--0.43219909) × cos(1.38305716) × R
    0.000191739999999996 × 0.186638266422191 × 6371000     		du = 227.992741089347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38309295)-sin(1.38305716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186603105179365-0.186638266422191)×R²
    abs(-0.43219909--0.43239083)×3.51612428264314e-05×R²
    0.000191739999999996×3.51612428264314e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.51612428264314e-05×40589641000000     		ar = 51981.5724328331m²