Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14127 / 3981
↖ ↑ ↗
← N 79.406146°
W 24.796143°		 ← 224.59 m → N 79.406146°
W 24.785156°		 →
↑
224.64 m
↓
↑
224.64 m
↓
N 79.404126°
W 24.796143°		 ← 224.64 m →
50 458 m²		 N 79.404126°
W 24.785156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431137084960938 y=0.121505737304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431137084960938 × 215)
    floor (0.431137084960938 × 32768)
    floor (14127.5)     		tx = 14127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121505737304688 × 215)
    floor (0.121505737304688 × 32768)
    floor (3981.5)     		ty = 3981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14127 / 3981 ti = "15/14127/3981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14127/3981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14127 ÷ 215
    14127 ÷ 32768     		x = 0.431121826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3981 ÷ 215
    3981 ÷ 32768     		y = 0.121490478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431121826171875 × 2 - 1) × π
    -0.13775634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43277433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121490478515625 × 2 - 1) × π
    0.75701904296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.37824546395023
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43277433} λ = -0.43277433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37824546395023))-π/2
    2×atan(10.7859618935089)-π/2
    2×1.47834750700942-π/2
    2.95669501401883-1.57079632675     		φ = 1.38589869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43277433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.796143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38589869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.406146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14127 KachelY 3981 -0.43277433 1.38589869 -24.796143 79.406146
    Oben rechts KachelX + 1 14128 KachelY 3981 -0.43258258 1.38589869 -24.785156 79.406146
    Unten links KachelX 14127 KachelY + 1 3982 -0.43277433 1.38586343 -24.796143 79.404126
    Unten rechts KachelX + 1 14128 KachelY + 1 3982 -0.43258258 1.38586343 -24.785156 79.404126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38589869-1.38586343) × R
    3.52600000002035e-05 × 6371000     		dl = 224.641460001296m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38589869-1.38586343) × R
    3.52600000002035e-05 × 6371000     		dr = 224.641460001296m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43277433--0.43258258) × cos(1.38589869) × R
    0.000191749999999991 × 0.183845916059473 × 6371000     		do = 224.593387010447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43277433--0.43258258) × cos(1.38586343) × R
    0.000191749999999991 × 0.18388057494112 × 6371000     		du = 224.635727660628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38589869)-sin(1.38586343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183845916059473-0.18388057494112)×R²
    abs(-0.43258258--0.43277433)×3.46588816469429e-05×R²
    0.000191749999999991×3.46588816469429e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.46588816469429e-05×40589641000000     		ar = 50457.7421028134m²