Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14125 / 10797
↖ ↑ ↗
← N 52.180669°
W 24.818115°		 ← 749.04 m → N 52.180669°
W 24.807129°		 →
↑
749.17 m
↓
↑
749.17 m
↓
N 52.173932°
W 24.818115°		 ← 749.15 m →
561 196 m²		 N 52.173932°
W 24.807129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431076049804688 y=0.329513549804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431076049804688 × 215)
    floor (0.431076049804688 × 32768)
    floor (14125.5)     		tx = 14125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329513549804688 × 215)
    floor (0.329513549804688 × 32768)
    floor (10797.5)     		ty = 10797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14125 / 10797 ti = "15/14125/10797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14125/10797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14125 ÷ 215
    14125 ÷ 32768     		x = 0.431060791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10797 ÷ 215
    10797 ÷ 32768     		y = 0.329498291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431060791015625 × 2 - 1) × π
    -0.13787841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43315782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329498291015625 × 2 - 1) × π
    0.34100341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.07129383270901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43315782} λ = -0.43315782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07129383270901))-π/2
    2×atan(2.91915395456312)-π/2
    2×1.24076040099723-π/2
    2.48152080199445-1.57079632675     		φ = 0.91072448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43315782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.818115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91072448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.180669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14125 KachelY 10797 -0.43315782 0.91072448 -24.818115 52.180669
    Oben rechts KachelX + 1 14126 KachelY 10797 -0.43296608 0.91072448 -24.807129 52.180669
    Unten links KachelX 14125 KachelY + 1 10798 -0.43315782 0.91060689 -24.818115 52.173932
    Unten rechts KachelX + 1 14126 KachelY + 1 10798 -0.43296608 0.91060689 -24.807129 52.173932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91072448-0.91060689) × R
    0.000117590000000001 × 6371000     		dl = 749.165890000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91072448-0.91060689) × R
    0.000117590000000001 × 6371000     		dr = 749.165890000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43315782--0.43296608) × cos(0.91072448) × R
    0.000191740000000051 × 0.613173608800768 × 6371000     		do = 749.037882284748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43315782--0.43296608) × cos(0.91060689) × R
    0.000191740000000051 × 0.61326649456762 × 6371000     		du = 749.151349265547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91072448)-sin(0.91060689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613173608800768-0.61326649456762)×R²
    abs(-0.43296608--0.43315782)×9.28857668510696e-05×R²
    0.000191740000000051×9.28857668510696e-05×6371000²
    0.000191740000000051×9.28857668510696e-05×40589641000000     		ar = 561196.135167986m²