Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14124 / 3979
↖ ↑ ↗
← N 79.410185°
W 24.829101°		 ← 224.51 m → N 79.410185°
W 24.818115°		 →
↑
224.51 m
↓
↑
224.51 m
↓
N 79.408165°
W 24.829101°		 ← 224.55 m →
50 410 m²		 N 79.408165°
W 24.818115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431045532226562 y=0.121444702148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431045532226562 × 215)
    floor (0.431045532226562 × 32768)
    floor (14124.5)     		tx = 14124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121444702148438 × 215)
    floor (0.121444702148438 × 32768)
    floor (3979.5)     		ty = 3979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14124 / 3979 ti = "15/14124/3979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14124/3979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14124 ÷ 215
    14124 ÷ 32768     		x = 0.4310302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3979 ÷ 215
    3979 ÷ 32768     		y = 0.121429443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4310302734375 × 2 - 1) × π
    -0.137939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43334957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121429443359375 × 2 - 1) × π
    0.75714111328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.37862895914719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43334957} λ = -0.43334957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37862895914719))-π/2
    2×atan(10.790099051329)-π/2
    2×1.47838275237937-π/2
    2.95676550475873-1.57079632675     		φ = 1.38596918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43334957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.829101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38596918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.410185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14124 KachelY 3979 -0.43334957 1.38596918 -24.829101 79.410185
    Oben rechts KachelX + 1 14125 KachelY 3979 -0.43315782 1.38596918 -24.818115 79.410185
    Unten links KachelX 14124 KachelY + 1 3980 -0.43334957 1.38593394 -24.829101 79.408165
    Unten rechts KachelX + 1 14125 KachelY + 1 3980 -0.43315782 1.38593394 -24.818115 79.408165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38596918-1.38593394) × R
    3.5240000000103e-05 × 6371000     		dl = 224.514040000656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38596918-1.38593394) × R
    3.5240000000103e-05 × 6371000     		dr = 224.514040000656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43334957--0.43315782) × cos(1.38596918) × R
    0.000191749999999991 × 0.183776627099555 × 6371000     		do = 224.508740897419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43334957--0.43315782) × cos(1.38593394) × R
    0.000191749999999991 × 0.183811266778873 × 6371000     		du = 224.551058089281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38596918)-sin(1.38593394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183776627099555-0.183811266778873)×R²
    abs(-0.43315782--0.43334957)×3.46396793176329e-05×R²
    0.000191749999999991×3.46396793176329e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.46396793176329e-05×40589641000000     		ar = 50410.1148413662m²