Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14123 / 10799
↖ ↑ ↗
← N 52.167194°
W 24.840088°		 ← 749.30 m → N 52.167194°
W 24.829101°		 →
↑
749.36 m
↓
↑
749.36 m
↓
N 52.160454°
W 24.840088°		 ← 749.42 m →
561 539 m²		 N 52.160454°
W 24.829101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431015014648438 y=0.329574584960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431015014648438 × 215)
    floor (0.431015014648438 × 32768)
    floor (14123.5)     		tx = 14123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329574584960938 × 215)
    floor (0.329574584960938 × 32768)
    floor (10799.5)     		ty = 10799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14123 / 10799 ti = "15/14123/10799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14123/10799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14123 ÷ 215
    14123 ÷ 32768     		x = 0.430999755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10799 ÷ 215
    10799 ÷ 32768     		y = 0.329559326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430999755859375 × 2 - 1) × π
    -0.13800048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43354132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329559326171875 × 2 - 1) × π
    0.34088134765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.07091033751205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43354132} λ = -0.43354132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07091033751205))-π/2
    2×atan(2.91803468767282)-π/2
    2×1.24064280861975-π/2
    2.4812856172395-1.57079632675     		φ = 0.91048929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43354132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.840088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91048929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.167194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14123 KachelY 10799 -0.43354132 0.91048929 -24.840088 52.167194
    Oben rechts KachelX + 1 14124 KachelY 10799 -0.43334957 0.91048929 -24.829101 52.167194
    Unten links KachelX 14123 KachelY + 1 10800 -0.43354132 0.91037167 -24.840088 52.160454
    Unten rechts KachelX + 1 14124 KachelY + 1 10800 -0.43334957 0.91037167 -24.829101 52.160454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91048929-0.91037167) × R
    0.00011762000000004 × 6371000     		dl = 749.357020000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91048929-0.91037167) × R
    0.00011762000000004 × 6371000     		dr = 749.357020000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43354132--0.43334957) × cos(0.91048929) × R
    0.000191749999999991 × 0.613359379752624 × 6371000     		do = 749.303892661424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43354132--0.43334957) × cos(0.91037167) × R
    0.000191749999999991 × 0.613452272249651 × 6371000     		du = 749.417373781823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91048929)-sin(0.91037167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613359379752624-0.613452272249651)×R²
    abs(-0.43334957--0.43354132)×9.28924970274858e-05×R²
    0.000191749999999991×9.28924970274858e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.28924970274858e-05×40589641000000     		ar = 561538.651664186m²