Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14122 / 21769
↖ ↑ ↗
← S 50.798992°
W 24.851074°		 ← 772.13 m → S 50.798992°
W 24.840088°		 →
↑
772.04 m
↓
↑
772.04 m
↓
S 50.805935°
W 24.851074°		 ← 772.01 m →
596 068 m²		 S 50.805935°
W 24.840088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430984497070312 y=0.664352416992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430984497070312 × 215)
    floor (0.430984497070312 × 32768)
    floor (14122.5)     		tx = 14122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664352416992188 × 215)
    floor (0.664352416992188 × 32768)
    floor (21769.5)     		ty = 21769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14122 / 21769 ti = "15/14122/21769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14122/21769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14122 ÷ 215
    14122 ÷ 32768     		x = 0.43096923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21769 ÷ 215
    21769 ÷ 32768     		y = 0.664337158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43096923828125 × 2 - 1) × π
    -0.1380615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43373307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664337158203125 × 2 - 1) × π
    -0.32867431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.03256081781601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43373307} λ = -0.43373307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03256081781601))-π/2
    2×atan(0.356093900373462)-π/2
    2×0.342093334995403-π/2
    0.684186669990806-1.57079632675     		φ = -0.88660966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43373307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.851074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88660966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.798992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14122 KachelY 21769 -0.43373307 -0.88660966 -24.851074 -50.798992
    Oben rechts KachelX + 1 14123 KachelY 21769 -0.43354132 -0.88660966 -24.840088 -50.798992
    Unten links KachelX 14122 KachelY + 1 21770 -0.43373307 -0.88673084 -24.851074 -50.805935
    Unten rechts KachelX + 1 14123 KachelY + 1 21770 -0.43354132 -0.88673084 -24.840088 -50.805935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88660966--0.88673084) × R
    0.000121180000000054 × 6371000     		dl = 772.037780000344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88660966--0.88673084) × R
    0.000121180000000054 × 6371000     		dr = 772.037780000344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43373307--0.43354132) × cos(-0.88660966) × R
    0.000191749999999991 × 0.632042941600129 × 6371000     		do = 772.128465144138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43373307--0.43354132) × cos(-0.88673084) × R
    0.000191749999999991 × 0.631949030534559 × 6371000     		du = 772.013739700428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88660966)-sin(-0.88673084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632042941600129-0.631949030534559)×R²
    abs(-0.43354132--0.43373307)×9.391106557044e-05×R²
    0.000191749999999991×9.391106557044e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.391106557044e-05×40589641000000     		ar = 596068.060646617m²