Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14121 / 21837
↖ ↑ ↗
← S 51.268789°
W 24.862061°		 ← 764.34 m → S 51.268789°
W 24.851074°		 →
↑
764.33 m
↓
↑
764.33 m
↓
S 51.275663°
W 24.862061°		 ← 764.23 m →
584 164 m²		 S 51.275663°
W 24.851074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430953979492188 y=0.666427612304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430953979492188 × 215)
    floor (0.430953979492188 × 32768)
    floor (14121.5)     		tx = 14121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666427612304688 × 215)
    floor (0.666427612304688 × 32768)
    floor (21837.5)     		ty = 21837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14121 / 21837 ti = "15/14121/21837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14121/21837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14121 ÷ 215
    14121 ÷ 32768     		x = 0.430938720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21837 ÷ 215
    21837 ÷ 32768     		y = 0.666412353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430938720703125 × 2 - 1) × π
    -0.13812255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43392482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666412353515625 × 2 - 1) × π
    -0.33282470703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04559965451266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43392482} λ = -0.43392482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04559965451266))-π/2
    2×atan(0.351480989010518)-π/2
    2×0.337993576250363-π/2
    0.675987152500725-1.57079632675     		φ = -0.89480917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43392482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.862061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89480917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.268789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14121 KachelY 21837 -0.43392482 -0.89480917 -24.862061 -51.268789
    Oben rechts KachelX + 1 14122 KachelY 21837 -0.43373307 -0.89480917 -24.851074 -51.268789
    Unten links KachelX 14121 KachelY + 1 21838 -0.43392482 -0.89492914 -24.862061 -51.275663
    Unten rechts KachelX + 1 14122 KachelY + 1 21838 -0.43373307 -0.89492914 -24.851074 -51.275663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89480917--0.89492914) × R
    0.000119969999999969 × 6371000     		dl = 764.328869999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89480917--0.89492914) × R
    0.000119969999999969 × 6371000     		dr = 764.328869999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43392482--0.43373307) × cos(-0.89480917) × R
    0.000191749999999991 × 0.625667692299678 × 6371000     		do = 764.340210370171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43392482--0.43373307) × cos(-0.89492914) × R
    0.000191749999999991 × 0.625574100436133 × 6371000     		du = 764.225874876184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89480917)-sin(-0.89492914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625667692299678-0.625574100436133)×R²
    abs(-0.43373307--0.43392482)×9.35918635448507e-05×R²
    0.000191749999999991×9.35918635448507e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.35918635448507e-05×40589641000000     		ar = 584163.595029374m²