Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14121 / 21832
↖ ↑ ↗
← S 51.234407°
W 24.862061°		 ← 764.91 m → S 51.234407°
W 24.851074°		 →
↑
764.84 m
↓
↑
764.84 m
↓
S 51.241286°
W 24.862061°		 ← 764.80 m →
584 990 m²		 S 51.241286°
W 24.851074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430953979492188 y=0.666275024414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430953979492188 × 215)
    floor (0.430953979492188 × 32768)
    floor (14121.5)     		tx = 14121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666275024414062 × 215)
    floor (0.666275024414062 × 32768)
    floor (21832.5)     		ty = 21832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14121 / 21832 ti = "15/14121/21832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14121/21832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14121 ÷ 215
    14121 ÷ 32768     		x = 0.430938720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21832 ÷ 215
    21832 ÷ 32768     		y = 0.666259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430938720703125 × 2 - 1) × π
    -0.13812255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43392482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666259765625 × 2 - 1) × π
    -0.33251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04464091652026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43392482} λ = -0.43392482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04464091652026))-π/2
    2×atan(0.351818128776816)-π/2
    2×0.33829361410979-π/2
    0.67658722821958-1.57079632675     		φ = -0.89420910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43392482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.862061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89420910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.234407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14121 KachelY 21832 -0.43392482 -0.89420910 -24.862061 -51.234407
    Oben rechts KachelX + 1 14122 KachelY 21832 -0.43373307 -0.89420910 -24.851074 -51.234407
    Unten links KachelX 14121 KachelY + 1 21833 -0.43392482 -0.89432915 -24.862061 -51.241286
    Unten rechts KachelX + 1 14122 KachelY + 1 21833 -0.43373307 -0.89432915 -24.851074 -51.241286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89420910--0.89432915) × R
    0.000120050000000038 × 6371000     		dl = 764.838550000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89420910--0.89432915) × R
    0.000120050000000038 × 6371000     		dr = 764.838550000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43392482--0.43373307) × cos(-0.89420910) × R
    0.000191749999999991 × 0.626135688050928 × 6371000     		do = 764.911932348732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43392482--0.43373307) × cos(-0.89432915) × R
    0.000191749999999991 × 0.626042078859788 × 6371000     		du = 764.797575686675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89420910)-sin(-0.89432915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626135688050928-0.626042078859788)×R²
    abs(-0.43373307--0.43392482)×9.36091911398762e-05×R²
    0.000191749999999991×9.36091911398762e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.36091911398762e-05×40589641000000     		ar = 584990.401726439m²