Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14121 / 18264
↖ ↑ ↗
← N 78.157062°
W141.215515°		 ← 62.67 m → N 78.157062°
W141.212769°		 →
↑
62.69 m
↓
↑
62.69 m
↓
N 78.156498°
W141.215515°		 ← 62.67 m →
3 929 m²		 N 78.156498°
W141.212769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107738494873047 y=0.139347076416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107738494873047 × 217)
    floor (0.107738494873047 × 131072)
    floor (14121.5)     		tx = 14121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139347076416016 × 217)
    floor (0.139347076416016 × 131072)
    floor (18264.5)     		ty = 18264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14121 / 18264 ti = "17/14121/18264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14121/18264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14121 ÷ 217
    14121 ÷ 131072     		x = 0.107734680175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18264 ÷ 217
    18264 ÷ 131072     		y = 0.13934326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.107734680175781 × 2 - 1) × π
    -0.784530639648438 × 3.1415926535     		Λ = -2.46467569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13934326171875 × 2 - 1) × π
    0.7213134765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26607311883929
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46467569} λ = -2.46467569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26607311883929))-π/2
    2×atan(9.64146548987223)-π/2
    2×1.4674471922284-π/2
    2.9348943844568-1.57079632675     		φ = 1.36409806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46467569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.215515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36409806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.157062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14121 KachelY 18264 -2.46467569 1.36409806 -141.215515 78.157062
    Oben rechts KachelX + 1 14122 KachelY 18264 -2.46462776 1.36409806 -141.212769 78.157062
    Unten links KachelX 14121 KachelY + 1 18265 -2.46467569 1.36408822 -141.215515 78.156498
    Unten rechts KachelX + 1 14122 KachelY + 1 18265 -2.46462776 1.36408822 -141.212769 78.156498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36409806-1.36408822) × R
    9.83999999992768e-06 × 6371000     		dl = 62.6906399995393m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36409806-1.36408822) × R
    9.83999999992768e-06 × 6371000     		dr = 62.6906399995393m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46467569--2.46462776) × cos(1.36409806) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.205229572310747 × 6371000     		do = 62.6693188168799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46467569--2.46462776) × cos(1.36408822) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.205239202845208 × 6371000     		du = 62.6722596164329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36409806)-sin(1.36408822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205229572310747-0.205239202845208)×R²
    abs(-2.46462776--2.46467569)×9.63053446095818e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.63053446095818e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.63053446095818e-06×40589641000000     		ar = 3928.87188535312m²