Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14121 / 10771
↖ ↑ ↗
← N 52.355474°
W 24.862061°		 ← 746.13 m → N 52.355474°
W 24.851074°		 →
↑
746.17 m
↓
↑
746.17 m
↓
N 52.348763°
W 24.862061°		 ← 746.24 m →
556 783 m²		 N 52.348763°
W 24.851074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430953979492188 y=0.328720092773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430953979492188 × 215)
    floor (0.430953979492188 × 32768)
    floor (14121.5)     		tx = 14121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328720092773438 × 215)
    floor (0.328720092773438 × 32768)
    floor (10771.5)     		ty = 10771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14121 / 10771 ti = "15/14121/10771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14121/10771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14121 ÷ 215
    14121 ÷ 32768     		x = 0.430938720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10771 ÷ 215
    10771 ÷ 32768     		y = 0.328704833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430938720703125 × 2 - 1) × π
    -0.13812255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43392482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328704833984375 × 2 - 1) × π
    0.34259033203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0762792702695
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43392482} λ = -0.43392482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0762792702695))-π/2
    2×atan(2.93374355187808)-π/2
    2×1.24228586221758-π/2
    2.48457172443517-1.57079632675     		φ = 0.91377540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43392482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.862061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91377540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.355474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14121 KachelY 10771 -0.43392482 0.91377540 -24.862061 52.355474
    Oben rechts KachelX + 1 14122 KachelY 10771 -0.43373307 0.91377540 -24.851074 52.355474
    Unten links KachelX 14121 KachelY + 1 10772 -0.43392482 0.91365828 -24.862061 52.348763
    Unten rechts KachelX + 1 14122 KachelY + 1 10772 -0.43373307 0.91365828 -24.851074 52.348763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91377540-0.91365828) × R
    0.000117119999999971 × 6371000     		dl = 746.171519999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91377540-0.91365828) × R
    0.000117119999999971 × 6371000     		dr = 746.171519999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43392482--0.43373307) × cos(0.91377540) × R
    0.000191749999999991 × 0.610760690099066 × 6371000     		do = 746.129231382069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43392482--0.43373307) × cos(0.91365828) × R
    0.000191749999999991 × 0.610853423311212 × 6371000     		du = 746.242517913804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91377540)-sin(0.91365828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610760690099066-0.610853423311212)×R²
    abs(-0.43373307--0.43392482)×9.27332121454238e-05×R²
    0.000191749999999991×9.27332121454238e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.27332121454238e-05×40589641000000     		ar = 556782.648924997m²