Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1412 / 700
↖ ↑ ↗
← N 81.544159°
W117.949219°		 ← 718.54 m → N 81.544159°
W117.905274°		 →
↑
718.78 m
↓
↑
718.78 m
↓
N 81.537695°
W117.949219°		 ← 719.09 m →
516 669 m²		 N 81.537695°
W117.905274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.17242431640625 y=0.08551025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.17242431640625 × 213)
    floor (0.17242431640625 × 8192)
    floor (1412.5)     		tx = 1412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08551025390625 × 213)
    floor (0.08551025390625 × 8192)
    floor (700.5)     		ty = 700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1412 / 700 ti = "13/1412/700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1412/700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1412 ÷ 213
    1412 ÷ 8192     		x = 0.17236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 700 ÷ 213
    700 ÷ 8192     		y = 0.08544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.17236328125 × 2 - 1) × π
    -0.6552734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.05860222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08544921875 × 2 - 1) × π
    0.8291015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.60469937775537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.05860222} λ = -2.05860222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60469937775537))-π/2
    2×atan(13.527158126797)-π/2
    2×1.49700519581568-π/2
    2.99401039163136-1.57079632675     		φ = 1.42321406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.05860222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -117.949219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42321406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.544159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1412 KachelY 700 -2.05860222 1.42321406 -117.949219 81.544159
    Oben rechts KachelX + 1 1413 KachelY 700 -2.05783523 1.42321406 -117.905274 81.544159
    Unten links KachelX 1412 KachelY + 1 701 -2.05860222 1.42310124 -117.949219 81.537695
    Unten rechts KachelX + 1 1413 KachelY + 1 701 -2.05783523 1.42310124 -117.905274 81.537695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42321406-1.42310124) × R
    0.000112820000000013 × 6371000     		dl = 718.776220000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42321406-1.42310124) × R
    0.000112820000000013 × 6371000     		dr = 718.776220000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.05860222--2.05783523) × cos(1.42321406) × R
    0.000766990000000245 × 0.147047113370081 × 6371000     		do = 718.544732797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.05860222--2.05783523) × cos(1.42310124) × R
    0.000766990000000245 × 0.147158706022985 × 6371000     		du = 719.090029546627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42321406)-sin(1.42310124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147047113370081-0.147158706022985)×R²
    abs(-2.05783523--2.05860222)×0.000111592652903642×R²
    0.000766990000000245×0.000111592652903642×6371000²
    0.000766990000000245×0.000111592652903642×40589641000000     		ar = 516668.840657864m²