Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14119 / 21849
↖ ↑ ↗
← S 51.351201°
W 24.884033°		 ← 762.97 m → S 51.351201°
W 24.873047°		 →
↑
762.86 m
↓
↑
762.86 m
↓
S 51.358061°
W 24.884033°		 ← 762.85 m →
581 997 m²		 S 51.358061°
W 24.873047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430892944335938 y=0.666793823242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430892944335938 × 215)
    floor (0.430892944335938 × 32768)
    floor (14119.5)     		tx = 14119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666793823242188 × 215)
    floor (0.666793823242188 × 32768)
    floor (21849.5)     		ty = 21849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14119 / 21849 ti = "15/14119/21849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14119/21849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14119 ÷ 215
    14119 ÷ 32768     		x = 0.430877685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21849 ÷ 215
    21849 ÷ 32768     		y = 0.666778564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430877685546875 × 2 - 1) × π
    -0.13824462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43430831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666778564453125 × 2 - 1) × π
    -0.33355712890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.04790062569443
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43430831} λ = -0.43430831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04790062569443))-π/2
    2×atan(0.350673171123121)-π/2
    2×0.337274400478234-π/2
    0.674548800956467-1.57079632675     		φ = -0.89624753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43430831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.884033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89624753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.351201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14119 KachelY 21849 -0.43430831 -0.89624753 -24.884033 -51.351201
    Oben rechts KachelX + 1 14120 KachelY 21849 -0.43411656 -0.89624753 -24.873047 -51.351201
    Unten links KachelX 14119 KachelY + 1 21850 -0.43430831 -0.89636727 -24.884033 -51.358061
    Unten rechts KachelX + 1 14120 KachelY + 1 21850 -0.43411656 -0.89636727 -24.873047 -51.358061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89624753--0.89636727) × R
    0.000119740000000035 × 6371000     		dl = 762.863540000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89624753--0.89636727) × R
    0.000119740000000035 × 6371000     		dr = 762.863540000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43430831--0.43411656) × cos(-0.89624753) × R
    0.000191749999999991 × 0.624544995651404 × 6371000     		do = 762.968680078797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43430831--0.43411656) × cos(-0.89636727) × R
    0.000191749999999991 × 0.624451475572185 × 6371000     		du = 762.854432279359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89624753)-sin(-0.89636727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624544995651404-0.624451475572185)×R²
    abs(-0.43411656--0.43430831)×9.35200792197e-05×R²
    0.000191749999999991×9.35200792197e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.35200792197e-05×40589641000000     		ar = 581997.411149507m²