Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14118 / 10787
↖ ↑ ↗
← N 52.247983°
W 24.895020°		 ← 747.94 m → N 52.247983°
W 24.884033°		 →
↑
747.96 m
↓
↑
747.96 m
↓
N 52.241256°
W 24.895020°		 ← 748.06 m →
559 470 m²		 N 52.241256°
W 24.884033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430862426757812 y=0.329208374023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430862426757812 × 215)
    floor (0.430862426757812 × 32768)
    floor (14118.5)     		tx = 14118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329208374023438 × 215)
    floor (0.329208374023438 × 32768)
    floor (10787.5)     		ty = 10787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14118 / 10787 ti = "15/14118/10787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14118/10787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14118 ÷ 215
    14118 ÷ 32768     		x = 0.43084716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10787 ÷ 215
    10787 ÷ 32768     		y = 0.329193115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43084716796875 × 2 - 1) × π
    -0.1383056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43450006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329193115234375 × 2 - 1) × π
    0.34161376953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.07321130869382
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43450006} λ = -0.43450006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07321130869382))-π/2
    2×atan(2.92475673204592)-π/2
    2×1.24134782869763-π/2
    2.48269565739526-1.57079632675     		φ = 0.91189933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43450006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.895020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91189933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.247983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14118 KachelY 10787 -0.43450006 0.91189933 -24.895020 52.247983
    Oben rechts KachelX + 1 14119 KachelY 10787 -0.43430831 0.91189933 -24.884033 52.247983
    Unten links KachelX 14118 KachelY + 1 10788 -0.43450006 0.91178193 -24.895020 52.241256
    Unten rechts KachelX + 1 14119 KachelY + 1 10788 -0.43430831 0.91178193 -24.884033 52.241256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91189933-0.91178193) × R
    0.000117400000000045 × 6371000     		dl = 747.955400000288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91189933-0.91178193) × R
    0.000117400000000045 × 6371000     		dr = 747.955400000288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43450006--0.43430831) × cos(0.91189933) × R
    0.000191750000000046 × 0.612245115222901 × 6371000     		do = 747.942663377249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43450006--0.43430831) × cos(0.91178193) × R
    0.000191750000000046 × 0.612337935429099 × 6371000     		du = 748.056056184333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91189933)-sin(0.91178193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612245115222901-0.612337935429099)×R²
    abs(-0.43430831--0.43450006)×9.28202061979411e-05×R²
    0.000191750000000046×9.28202061979411e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.28202061979411e-05×40589641000000     		ar = 559470.160987896m²