Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14117 / 4055
↖ ↑ ↗
← N 79.255634°
W 24.906006°		 ← 227.75 m → N 79.255634°
W 24.895020°		 →
↑
227.76 m
↓
↑
227.76 m
↓
N 79.253585°
W 24.906006°		 ← 227.79 m →
51 877 m²		 N 79.253585°
W 24.895020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430831909179688 y=0.123764038085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430831909179688 × 215)
    floor (0.430831909179688 × 32768)
    floor (14117.5)     		tx = 14117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123764038085938 × 215)
    floor (0.123764038085938 × 32768)
    floor (4055.5)     		ty = 4055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14117 / 4055 ti = "15/14117/4055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14117/4055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14117 ÷ 215
    14117 ÷ 32768     		x = 0.430816650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4055 ÷ 215
    4055 ÷ 32768     		y = 0.123748779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430816650390625 × 2 - 1) × π
    -0.13836669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43469181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123748779296875 × 2 - 1) × π
    0.75250244140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36405614166269
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43469181} λ = -0.43469181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36405614166269))-π/2
    2×atan(10.6339970924579)-π/2
    2×1.47703404557069-π/2
    2.95406809114137-1.57079632675     		φ = 1.38327176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43469181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.906006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38327176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.255634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14117 KachelY 4055 -0.43469181 1.38327176 -24.906006 79.255634
    Oben rechts KachelX + 1 14118 KachelY 4055 -0.43450006 1.38327176 -24.895020 79.255634
    Unten links KachelX 14117 KachelY + 1 4056 -0.43469181 1.38323601 -24.906006 79.253585
    Unten rechts KachelX + 1 14118 KachelY + 1 4056 -0.43450006 1.38323601 -24.895020 79.253585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38327176-1.38323601) × R
    3.574999999989e-05 × 6371000     		dl = 227.763249999299m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38327176-1.38323601) × R
    3.574999999989e-05 × 6371000     		dr = 227.763249999299m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43469181--0.43450006) × cos(1.38327176) × R
    0.000191749999999991 × 0.186427432926392 × 6371000     		do = 227.747069339612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43469181--0.43450006) × cos(1.38323601) × R
    0.000191749999999991 × 0.186462556064473 × 6371000     		du = 227.789977143675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38327176)-sin(1.38323601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186427432926392-0.186462556064473)×R²
    abs(-0.43450006--0.43469181)×3.51231380811279e-05×R²
    0.000191749999999991×3.51231380811279e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.51231380811279e-05×40589641000000     		ar = 51877.2991063734m²