Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14117 / 4054
↖ ↑ ↗
← N 79.257682°
W 24.906006°		 ← 227.70 m → N 79.257682°
W 24.895020°		 →
↑
227.76 m
↓
↑
227.76 m
↓
N 79.255634°
W 24.906006°		 ← 227.75 m →
51 868 m²		 N 79.255634°
W 24.895020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430831909179688 y=0.123733520507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430831909179688 × 215)
    floor (0.430831909179688 × 32768)
    floor (14117.5)     		tx = 14117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123733520507812 × 215)
    floor (0.123733520507812 × 32768)
    floor (4054.5)     		ty = 4054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14117 / 4054 ti = "15/14117/4054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14117/4054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14117 ÷ 215
    14117 ÷ 32768     		x = 0.430816650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4054 ÷ 215
    4054 ÷ 32768     		y = 0.12371826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430816650390625 × 2 - 1) × π
    -0.13836669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43469181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12371826171875 × 2 - 1) × π
    0.7525634765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36424788926117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43469181} λ = -0.43469181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36424788926117))-π/2
    2×atan(10.6360363313659)-π/2
    2×1.4770519173931-π/2
    2.95410383478619-1.57079632675     		φ = 1.38330751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43469181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.906006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38330751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.257682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14117 KachelY 4054 -0.43469181 1.38330751 -24.906006 79.257682
    Oben rechts KachelX + 1 14118 KachelY 4054 -0.43450006 1.38330751 -24.895020 79.257682
    Unten links KachelX 14117 KachelY + 1 4055 -0.43469181 1.38327176 -24.906006 79.255634
    Unten rechts KachelX + 1 14118 KachelY + 1 4055 -0.43450006 1.38327176 -24.895020 79.255634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38330751-1.38327176) × R
    3.57500000001121e-05 × 6371000     		dl = 227.763250000714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38330751-1.38327176) × R
    3.57500000001121e-05 × 6371000     		dr = 227.763250000714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43469181--0.43450006) × cos(1.38330751) × R
    0.000191749999999991 × 0.186392309550045 × 6371000     		do = 227.704161244473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43469181--0.43450006) × cos(1.38327176) × R
    0.000191749999999991 × 0.186427432926392 × 6371000     		du = 227.747069339612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38330751)-sin(1.38327176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186392309550045-0.186427432926392)×R²
    abs(-0.43450006--0.43469181)×3.51233763472569e-05×R²
    0.000191749999999991×3.51233763472569e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.51233763472569e-05×40589641000000     		ar = 51867.5262530122m²