Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14116 / 21780
↖ ↑ ↗
← S 50.875311°
W 24.916992°		 ← 770.83 m → S 50.875311°
W 24.906006°		 →
↑
770.76 m
↓
↑
770.76 m
↓
S 50.882243°
W 24.916992°		 ← 770.71 m →
594 081 m²		 S 50.882243°
W 24.906006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430801391601562 y=0.664688110351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430801391601562 × 215)
    floor (0.430801391601562 × 32768)
    floor (14116.5)     		tx = 14116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664688110351562 × 215)
    floor (0.664688110351562 × 32768)
    floor (21780.5)     		ty = 21780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14116 / 21780 ti = "15/14116/21780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14116/21780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14116 ÷ 215
    14116 ÷ 32768     		x = 0.4307861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21780 ÷ 215
    21780 ÷ 32768     		y = 0.6646728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4307861328125 × 2 - 1) × π
    -0.138427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43488355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6646728515625 × 2 - 1) × π
    -0.329345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03467004139929
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43488355} λ = -0.43488355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03467004139929))-π/2
    2×atan(0.355343610263887)-π/2
    2×0.341427319702799-π/2
    0.682854639405597-1.57079632675     		φ = -0.88794169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43488355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.916992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88794169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.875311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14116 KachelY 21780 -0.43488355 -0.88794169 -24.916992 -50.875311
    Oben rechts KachelX + 1 14117 KachelY 21780 -0.43469181 -0.88794169 -24.906006 -50.875311
    Unten links KachelX 14116 KachelY + 1 21781 -0.43488355 -0.88806267 -24.916992 -50.882243
    Unten rechts KachelX + 1 14117 KachelY + 1 21781 -0.43469181 -0.88806267 -24.906006 -50.882243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88794169--0.88806267) × R
    0.000120980000000048 × 6371000     		dl = 770.763580000308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88794169--0.88806267) × R
    0.000120980000000048 × 6371000     		dr = 770.763580000308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43488355--0.43469181) × cos(-0.88794169) × R
    0.000191739999999996 × 0.631010146697332 × 6371000     		do = 770.826560697256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43488355--0.43469181) × cos(-0.88806267) × R
    0.000191739999999996 × 0.630916288871418 × 6371000     		du = 770.711906272882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88794169)-sin(-0.88806267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631010146697332-0.630916288871418)×R²
    abs(-0.43469181--0.43488355)×9.38578259142009e-05×R²
    0.000191739999999996×9.38578259142009e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.38578259142009e-05×40589641000000     		ar = 594080.854479688m²